Problema su piano inclinato e molla

[Gianfreda]

Salve ragazzi!
Ho cercato di svolgere il seguente problema (di cui riporto la traccia a questo link: http://imageshack.us/photo/my-images/82 ... isica.png/ ) ma ho trovato alcuni problemi in quanto la soluzione proposta dal libro è diversa da quella alla quale sono giunto io e non riesco a capire dove ho sbagliato.
Ho svolto il punto a) ponendo uguale a zero la risultante delle forze agenti sul blocco B. Dunque:

\( \displaystyle {m}{g{{\sin{\alpha}}}}+{k}\delta+\mu{m}{g{{\cos{\alpha}}}}={0} \)

dalla quale ricavo il coefficiente di attrito dinamico \( \displaystyle \mu \).
Prima di procedere con i punti b) e c) qualcuno può darmi una mano a capire dove ho sbagliato?
Grazie!

[Falco5x]

Per prima cosa non concordo sui segni della tua equazione (che è comunque sbagliata per quanto dirò poi).
La forza \( \displaystyle {m}{g{{\sin{\alpha}}}} \) tira verso il basso mentre la forza \( \displaystyle {k}\delta \) tira verso l'alto, dunque dovrebbe esserci un - in una delle due, a seconda di come hai orientato l'asse.
Ma la relazione è comunque sbagliata perché la forza di attrito non è detto che sia \( \displaystyle {m}{g{\mu}}{\cos{\alpha}} \), primo perchè il \( \displaystyle \mu \) dato dal problema è l'attrito dinamico e poi perché quando il corpo è fermo la forza di attrito può essere un valore qualsiasi compreso tra \( \displaystyle +{m}{g{\mu}}_{{S}}{\cos{\alpha}} \) e \( \displaystyle -{m}{g{\mu}}_{{S}}{\cos{\alpha}} \) (il \( \displaystyle \mu_{{S}} \) è quello statico) .
Io invece eguaglierei il lavoro consumato dalla forza d'attrito con la variazione di energia potenziale totale (infatti l'energia cinetica è zero sia prima che dopo la discesa di B, dunque non cede né accumula lavoro).

[daniele91]

Scusate se vi rispondo con questo altro account in quanto ho avuto problemi con il primo ahimè. Comunque, si, il segno era sbagliato ma è stato solo un errore di digitazione. La soluzione proposta dal libro è molto simile alla mia e varia per qualche coefficiente. Tu dici che dovrei procedere al calcolo del lavoro in quanto non si hanno dati riguardo al coefficiente di attrito statico?

[Falco5x]

Sì, e dico anche che quando un corpo è fermo e si conosce la forza d'attrito (per differenza rispetto alle altre forze in gioco), non si può risalire al coefficiente d'attrito statico perché esso non è univocamente determinato. Infatti si può solo dire che deve essere maggiore di un certo minimo, che è quello che risulta dall'equazione delle forze, ma nulla di più.
In questo problema c'è però un'incertezza in più, cioè non si dice se il corpo si ferma per restare fermo, oppure si ferma perché raggiunge un punto di minima altezza dal quale poi inizia a risalire.
Strano che il libro dia un risultato simile a quello che hai trovato in quel modo... qual è il risultato del libro?

[daniele91]

Allora, il risultato proposto dal libro (simile come "forma") è il seguente: \( \displaystyle \mu=\frac{{{2}{m}{g{{\sin{\alpha}}}}-{k}\delta}}{{{2}{m}{g{{\cos{\alpha}}}}}} \). Il risultato proposto da me differisce per qualche coefficiente.

[Falco5x]

E allora vedi che è come dico io.
Ti posto tutti i passaggi:

\( \displaystyle \begin{array}{l}
\Delta {E_p} = mg\delta \sin \alpha - \frac{1}{2}k{\delta ^2} \\
L = \delta {\mu _D}mg\cos \alpha \\
L = \Delta {E_p} \\
\delta {\mu _D}mg\cos \alpha = mg\delta \sin \alpha - \frac{1}{2}k{\delta ^2} \\
{\mu _D} = \tan \alpha - \frac{{k\delta }}{{2mg\cos \alpha }} \\
\end{array} \)

Facendo invece come dicevi tu mi pare venga molto diverso però.

[daniele91]

Le relazioni che hai scritto tu valgono anche per forze non conservative come quelle di attrito? Comunque, grazie mille per la risposta e l'aiuto.

[Falco5x]

Riguardo alle forze non conservative come l'attrito non è possibile definire una funzione potenziale, però se si conoscono le forze è sempre possibile calcolare il lavoro come integrale di linea Fds. E se questo lavoro consuma energia alle forze conservative l'uguaglianza è lecito scriverla.

[daniele91]

Ho ancora alcuni dubbi riguardanti il fatto che si considera solo il lavoro svolto dalla forza d'attrito. Ho intuito cosa volessi dire prima ma non sono riuscito ad afferrare per bene il concetto. Inoltre, stavo cercando di svolgere il punto b) in modo analogo al punto a) (e, dunque, considerando l'uguaglianza tra lavoro ed energia potenziale del sistema) ma anche qui incontro una certa difficoltà...

[daniele91]

Mi chiedo per quale motivo si debba considerare soltanto il lavoro svolto dalla forza d'attrito. Per il teorema delle forze vive, il lavoro \( \displaystyle {L}{\left({A}\to{B}\right)} \) delle forze esterne agenti nel passaggio da uno stato ad un altro è uguale alla variazione dell'energia potenziale \( \displaystyle {U}{\left({A}\right)}-{U}{\left({B}\right)} \). In questo caso però viene considerata la stessa variazione di energia potenziale ma il lavoro è riferito solo alla forza d'attrito dinamico (trascurando la presenza della forza peso \( \displaystyle {m}{g{{\sin{\alpha}}}} \) e della forza elastica \( \displaystyle -{k}\delta \). Come mai?