Problema sui gruppi dell' Herstein.

[francicko]

Sia \( \displaystyle G \) un gruppo abeliano finito che contenga un sottogruppo \( \displaystyle {H}_{{0}}\ne{\left({e}\right)} \), contenuto in ogni sottogruppo \( \displaystyle {H}\ne{\left({e}\right)} \).
Dimostrare che allora \( \displaystyle {G} \) è ciclico . Cosa si può dire dell'ordine di \( \displaystyle {G} \)?

[Martino]

[mod="Martino"]Potresti per favore elaborare un po' il concetto e proporre tuoi tentativi di soluzione? Grazie.[/mod]

[†Sally†]

Per il teorema di Lagrange \( \displaystyle \forall{H}\supset{H}_{{0}} \), \( \displaystyle {o} \)(\( \displaystyle {H}_{{0}} \)) \ o\( \displaystyle {\left({H}\right)} \) ma \( \displaystyle {H}_{{0}}\ne{\left({e}\right)} \) è contenuto in ogni sottogruppo \( \displaystyle {H}\ne{\left({e}\right)} \) per ipotesi, dunque \( \displaystyle {o} \)(\( \displaystyle {G} \)) non ammette divisori coprimi e \( \displaystyle {o} \)(\( \displaystyle {H}_{{0}} \)) divide tutti i possibili divisori di \( \displaystyle {G} \) e \( \displaystyle {o}{\left({H}_{{0}}\right)}\ne{\left({1}\right)} \) quindi \( \displaystyle {o} \)(\( \displaystyle {G} \)) = \( \displaystyle {o} \)(\( \displaystyle {H}_{{0}} \))\( \displaystyle {n} \) e \( \displaystyle {o} \)(\( \displaystyle {H}_{{0}} \)) primo (se primo non fosse esisterebbe in \( \displaystyle {G} \) un sottogruppo che non conterrebbe \( \displaystyle {H}_{{0}} \)), dunque \( \displaystyle {H}_{{0}} \) ciclico. Tutti i sottogruppi di \( \displaystyle {G} \) avranno per ordine una potenza di \( \displaystyle {o} \)(\( \displaystyle {H}_{{0}} \)), e tali sottogruppi esistono per il teorema di Sylow. Poichè tutti i gruppi abeliani finiti risultano dal prodotto diretto di gruppi ciclici e, in questo caso ciascun sottogruppo di \( \displaystyle {G} \) è potenza cartesiana di \( \displaystyle {H}_{{0}} \) anche \( \displaystyle {G} \) per quanto sopra lo è, quindi \( \displaystyle {G} \) ciclico.

[francicko]

Penso che il tuo ragionamento sia esatto. Premetto che io non avendo conoscenza ancora del teorema sui gruppi abeliani finiti, e solo
una vaga conoscenza dell'enunciato del teorema di Sylow, avevo fatto il seguente ragionamento se \( \displaystyle {\left({G},\cdot\right)} \) avesse ordine
\( \displaystyle {\left|{G}\right|}={{p}_{{1}}^{{a}}}{{p}_{{2}}^{{b}}}\ldots\ldots{{p}_{{n}}^{{k}}} \) con \( \displaystyle {p}_{{1}}\ne{p}_{{2}}\ne\ldots..{p}_{{n}} \) primi distinti esisterebbe per il teorema di cauchy un sottogruppo di ordine \( \displaystyle {p}_{{j}} \)
per ogni \( \displaystyle {j} \) con \( \displaystyle {j} \) che varia da \( \displaystyle {1} \) ad \( \displaystyle {n} \) pertanto si avrebbe \( \displaystyle \cap={\left({e}\right)} \) di tali sottogruppi cio' non è possibile nel nostro caso in quanto abbiamo per ipotesi che \( \displaystyle \cap={H}_{{0}}\ne{\left({e}\right)} \) quindi necessariamente deve essere l'ordine di \( \displaystyle {G} \) una potenza di un generico primo\( \displaystyle {p} \),
cioè \( \displaystyle {\left|{G}\right|}={{p}}^{{t}} \) quindi deve essere \( \displaystyle {\left|{H}_{{0}}\right|}={p} \)come potrei continuare?
Nel testo dell'Herstein il problema proposto precede il teorema sui gruppi abeliani finiti, e se non sbaglio utilizza anche il risultato
di questo problema nella dimostrazione di tale teorema.

[WiZaRd]

[mod="WiZaRd"]
@+Sally+
Cioè, fammi capire, un moderatore invita l'utente che ha aperto il topic a presentare tentativi di soluzione e tu te ne esci con la pappa pronta. Cortesemente, in futuro cerca di evitare comportamenti del genere.
[/mod]

[blackbishop13]

Couschy

vuoi dire che in tutta la tua vita non hai mai, mai letto su un libro o su internet il nome Cauchy ?

[†Sally†]

@+Sally+
Cioè, fammi capire, un moderatore invita l'utente che ha aperto il topic a presentare tentativi di soluzione e tu te ne esci con la pappa pronta. Cortesemente, in futuro cerca di evitare comportamenti del genere.

Stavo affrontando anch'io un problema del genere ho buttato giù una soluzione senza pensarci troppo. Chiedo scusa.