Problema sulla posizione di una retta rispetto ad un piano..

[zoso89]

Salve a tutti!
Mi sono imbattuto in un esercizio di esame che non riesco proprio a risolvere.

Testo esercizio: Data la retta r di equazione cartesiana: { \( \displaystyle {5}{x}-{2}{y}-{2}{k}{z}={0} \) , \( \displaystyle {3}{x}+{2}{k}{y}+{2}{z}={k}-{3} \);
si determini

1) la sua posizione rispetto al piano PiGreca:\( \displaystyle {x}-{2}{y}-{2}{z}={0} \) al variare di k ( con k appartenente all'insieme dei numeri Reali);
2) posto k=-1 la sua posizione rispetto alla retta s di equazioni parametriche \( \displaystyle {x}={6}{t}-{4} \), \( \displaystyle {y}={3}{t}+{2} \), \( \displaystyle {z}={t}-{1} \);
3) il piano per l'origine parallelo ad r ed s.


Qualcuno mi potrebbe dare una mano? anche solo spiegandomi il procedimento per la risoluzione.

Grazie in anticipo

[vict85]

Cosa esattamente non capisci? Mi sembra una applicazione diretta delle formule... C'è un punto dove ti blocchi? I primi due punti li sai fare?

[franced]

Testo esercizio: Data la retta r di equazione cartesiana: { \( \displaystyle {5}{x}-{2}{y}-{2}{k}{z}={0} \) , \( \displaystyle {3}{x}+{2}{k}{y}+{2}{z}={k}-{3} \);
si determini

1) la sua posizione rispetto al piano PiGreca:\( \displaystyle {x}-{2}{y}-{2}{z}={0} \) al variare di k ( con k appartenente all'insieme dei numeri Reali);

Devi intersecare il piano con la retta...

[zoso89]

Salve a tutti!

Cominciando dal primo punto, ho messo a sistema l'equazione del piano PiGreco con i piani che intersecandosi individuano r. Il sistema risulta compatibile per qualsiasi valore di k ad esclusione di \( \displaystyle {k} \) \( \displaystyle = \) \( \displaystyle {1} \), infatti per quest'ultimo il \( \displaystyle {r}{a}{n}{k}{\left({A}\right)} \) \( \displaystyle =! \) \( \displaystyle {r}{a}{n}{k}{\left({A}{\mid}{b}\right)} \). Geometricamente ciò vuol dire che per \( \displaystyle {k} \) \( \displaystyle =! \) \( \displaystyle {1} \) la retta r e il paino PiGreco sono paralleli per \( \displaystyle {k} \) \( \displaystyle = \) \( \displaystyle {1} \) e incidenti nel punto \( \displaystyle {P}={\left(\frac{{{k}-{3}}}{{{k}-{1}}},\frac{{{\left({k}-{5}\right)}\cdot{\left({k}-{3}\right)}}}{{{2}\cdot{{\left({k}-{1}\right)}}^{{2}}}},\frac{{{2}\cdot{\left({k}-{3}\right)}}}{{{\left({k}-{1}\right)}}^{{2}}}\right)} \) per \( \displaystyle {k}=!{1} \) ???

[Marco512]

Ho provato a risolvere l'esercizio, trovando i seguenti risultati:

punto 1)
come ha suggerito franced ho intersecato retta e piano, ottenendo un sistema lineare in funzone di k, con matrice
associata

\( \displaystyle {A}={\left(\matrix{{5}&-{2}&-{2}{k}\\{3}&{2}{k}&{2}\\{1}&-{2}&-{2}}\right)} \)

retta e piano sono incidenti in un punto (in funzione di k) se e solo se il sistema è determinato, cioè se \( \displaystyle {A} \) ha
rango =3. Questo si ottiene per \( \displaystyle {k}\ne{1} \) (si cacola il determinante e questo risulta uguale a \( \displaystyle {{\left({k}-{1}\right)}}^{{2}} \)).
I punti di intersezione \( \displaystyle {P}_{{k}}{\left({x},{y},{z}\right)} \) si ottengono risolvendo il sistema, per esempio col metodo di kramer.

Caso \( \displaystyle {k}={1} \)

\( \displaystyle {r}\) \) e \( \displaystyle \pi\) \) sono paralleli perchè \( \displaystyle {\det{{\left({A}\right)}}}={0} \). Per verificare se sono coincidenti o disgiunti si considera la
matrice orlata (cioè la matrice ottenuta da \( \displaystyle {A} \) aggiungendo la colonna dei termini noti,sempe con \( \displaystyle {k}={1} \))

\( \displaystyle {\left(\matrix{{5}&-{2}&-{2}&{0}\\{3}&{2}&{2}&-{2}\\{1}&-{2}&-{2}&{0}}\right)} \)
questa matrice ha rango 3,dunque retta e piao sono disgiunti.

punto 2)

dall'equazione cartesiana di \( \displaystyle {r}\) \), con \( \displaystyle {k}=-{1} \), si ricava una sua rappresentazione parametrica. Per verificare se hanno punti in comune si eguagliano le \( \displaystyle {x},{y},{z}, \) delle 2 rappresentazioni. Si risolve il sistema a tre equazioni e 2 variabili e si ottiene un valore per il primo parametro e uno per il secondo che, sostituiti nelle rispettive parametrizzazioni danno come risultato il punto comune \( \displaystyle {P}={\left({2},{5},{0}\right)} \).

punto 3)

dalle rappresentazioni parametriche di \( \displaystyle {r}\) \) ed \( \displaystyle {s}\) \) si ottengono i vettori di direzione \( \displaystyle {\vec{{r}}}={\left({0},-{4},-{4}\right)} \) e \( \displaystyle {\vec{{s}}}={\left({6},{3},{1}\right)} \).
L'equazione cartesiana del piano è

\( \displaystyle {\left|\matrix{{x}&{y}&{z}\\{0}&-{4}&-{4}\\{6}&{3}&{1}}\right|}={0} \), svolgendo i calcoli con Laplace si ottiene \( \displaystyle {x}-{3}{y}+{3}{z}={0} \).

......torna?

[zoso89]

ok, ora ho capito il procedimento! Grazie mille.

[Marco512]

prego.