Problemi con applicazioni lineari

[Xorik]

Ciao a tutti purtroppo ho ancora bisogno di chiedere consiglio a Voi saggi, che più volte mi avete indicato la Via...!
Mi ritrovo incasinato sulle applicazioni lineari in particolare in questo esercizio, in cui non so nemmeno da dove cominciare (tanto per intenderci...):

Trovare la matrice associata all'applicazione lineare \( \displaystyle \varphi:{\mathbb{R}}^{{2}}\rightarrow{\mathbb{R}}^{{2}} \) (mediante le basi \( \displaystyle {B}={\left({e}_{{1}},{e}_{{2}}\right)} \) e \( \displaystyle {C}={\left({2}{e}_{{1}}-{e}_{{2}},{e}_{{1}}+{e}_{{2}}\right)} \)) tale che \( \displaystyle \varphi{\left({e}_{{1}}\right)}={\left({1},{0}\right)} \), \( \displaystyle \varphi{\left({e}_{{2}}\right)}={\left({2},{0}\right)} \).

[misanino]

Ciao a tutti purtroppo ho ancora bisogno di chiedere consiglio a Voi saggi, che più volte mi avete indicato la Via...!
Mi ritrovo incasinato sulle applicazioni lineari in particolare in questo esercizio, in cui non so nemmeno da dove cominciare (tanto per intenderci...):

Trovare la matrice associata all'applicazione lineare \( \displaystyle \varphi:{\mathbb{R}}^{{2}}\rightarrow{\mathbb{R}}^{{2}} \) (mediante le basi \( \displaystyle {B}={\left({e}_{{1}},{e}_{{2}}\right)} \) e \( \displaystyle {C}={\left({2}{e}_{{1}}-{e}_{{2}},{e}_{{1}}+{e}_{{2}}\right)} \)) tale che \( \displaystyle \varphi{\left({e}_{{1}}\right)}={\left({1},{0}\right)} \), \( \displaystyle \varphi{\left({e}_{{2}}\right)}={\left({2},{0}\right)} \).

Direi che scrivere la matrice associata a \( \displaystyle \varphi \) rispetto alla base B è facile.
Tu cosa pensi di fare?

[Xorik]

Direi che non sono capace è possibile una spiegazione?

[misanino]

Direi che non sono capace è possibile una spiegazione?

Ma se non sei capace di scrivere la matrice neanche rispetto a B che è la base standard di \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{2}} \), io ti consiglio di andare a rivedere e ripassare la teoria.
Poi, se vorrai, ti potrò aiutare a scrivere la matrice rispetto all'altra base

[Xorik]

Allora la matrice associata alla base canonica B è \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{2}\\{0}&{0}}\right)} \) giusto?

[mistake89]

Sì, è giusta!

[Xorik]

E poi di qui come si prosegue?

[Xorik]

Ragazzi proprio nessuno mi può aiutare?

[misanino]

Puoi agire in 2 modi.

C'è il modo standard che consiste nell'andare a calcolare la matrice di cambio base dalla vecchia base \( \displaystyle {e}_{{1}},{e}_{{2}} \) alla nuova base \( \displaystyle {v}_{{1}}={2}{e}_{{1}}-{e}_{{2}};{v}_{{2}}={e}_{{1}}+{e}_{{2}} \). Per uqesto guarda sui libri e anche questo procedimento è pura teoria e non ci sono cose molto complicate. (se poi hai qualche dubbio specifico dopo aver guardato la teoria chiedi pure)

C'è invece un modo non standard che però in questo caso esce velocemente.
Devi sfruttare la linearità di \( \displaystyle \varphi \)
Ora per linearità \( \displaystyle \varphi{\left({v}_{{1}}\right)}=\varphi{\left({2}{e}_{{1}}-{e}_{{2}}\right)}={2}\varphi{\left({e}_{{1}}\right)}-\varphi{\left({e}_{{2}}\right)}={2}\cdot{\left({1},{0}\right)}-{\left({2},{0}\right)}={\left({2},{0}\right)}-{\left({2},{0}\right)}={\left({0},{0}\right)} \) e quindi il primo elemento della base viene mandato nel vettore nullo.
Perciò \( \displaystyle \varphi{\left({v}_{{1}}\right)}={0}\cdot{v}_{{1}}+{0}\cdot{v}_{{2}} \) e quindi la prima colonna della matrice è nulla.
Ora per il secondo vettore otteniamo \( \displaystyle \varphi{\left({v}_{{2}}\right)}={\left({3},{0}\right)}={3}\cdot{e}_{{1}}+{0}\cdot{e}_{{2}} \)
Dobbiamo ora scrivere questo vettore come combinazione lineare della nuova base \( \displaystyle {v}_{{1}},{v}_{{2}} \) cioè devi trovare \( \displaystyle {a},{b} \) costanti tali che \( \displaystyle {3}\cdot{e}_{{1}}+{0}\cdot{e}_{{2}}={a}{v}_{{1}}+{b}{v}_{{2}} \) cioè \( \displaystyle {3}\cdot{e}_{{1}}+{0}\cdot{e}_{{2}}={a}{\left({2}{e}_{{1}}-{e}_{{2}}\right)}+{b}{\left({e}_{{1}}+{e}_{{2}}\right)} \)
Svolgendo i calcoli ed eguagliando i coefficienti di \( \displaystyle {e}_{{1}} \) ed \( \displaystyle {e}_{{2}} \) trovi a e b e hai anche la seconda colonna della tua matrice (formata appunto da a e b)

[Xorik]

Allora ho fatto così:
\( \displaystyle \varphi{\left({e}_{{1}}\right)}={a}{\left({2}{e}_{{1}}-{e}_{{2}}\right)}+{b}{\left({e}_{{1}}+{e}_{{2}}\right)} \)
\( \displaystyle \varphi{\left({1},{0}\right)}={a}{\left({2},-{1}\right)}+{b}{\left({1},{1}\right)} \)
da cui facendo il sistema si ottiene:
\( \displaystyle {a}=\frac{{1}}{{3}} \)
\( \displaystyle {b}=\frac{{1}}{{3}} \)

Poi:
\( \displaystyle \varphi{\left({e}_{{2}}\right)}={a}{\left({2}{e}_{{1}}-{e}_{{2}}\right)}+{b}{\left({e}_{{1}}+{e}_{{2}}\right)} \)
\( \displaystyle \varphi{\left({2},{0}\right)}={a}{\left({2},-{1}\right)}+{b}{\left({1},{1}\right)} \)
da cui:
\( \displaystyle {a}=\frac{{2}}{{3}} \)
\( \displaystyle {b}=\frac{{2}}{{3}} \)

Dopodichè mettendo come colonna a e b prima di \( \displaystyle \varphi{\left({e}_{{1}}\right)} \) poi di \( \displaystyle \varphi{\left({e}_{{2}}\right)} \) si ottiene la matrice:
\( \displaystyle {M}={\left(\matrix{\frac{{1}}{{3}}&\frac{{2}}{{3}}\\\frac{{1}}{{3}}&\frac{{2}}{{3}}}\right)} \)

E' corretto?