Problemi di massimo e minimo assoluti

[shintek20]

Tra tutti i trapezi isosceli circoscritti a un cerchio di raggio r trovare quello di area minima.
Suggerimento:\( \displaystyle {A}={2}{r}{\left({x}+{y}\right)} \)poichè \( \displaystyle {x}{y}={{r}}^{{2}} \) si ha il minimo quando...
E mi da anche il disegno:


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Purtroppo oltre ad aver scritto i dati non sono più andato avanti...Come posso procedere?Il suggerimento non l'ho capito...
Grazie,PS se poteste aiutarmi entro oggi,mi fareste un grandissimo favore,perchè ho paura che domani la professoressa inizia ad interrogare...grazie

[Gi8]

In pratica, non hai capito perchè \( \displaystyle {x}{y}={r} \), giusto?
Dal punto \( \displaystyle {C} \) traccia l'altezza, che toccherà la base \( \displaystyle {A}{B} \) nel punto \( \displaystyle {E} \)
Ora, \( \displaystyle {C}{E}={2}{r} \) (banalmente) e inoltre \( \displaystyle {B}{E}={y}-{x} \)
Applica ora il teorema di Pitagora relativamente al triangolo rettangolo \( \displaystyle {B}{E}{C} \)
Otterrai proprio quella formula

[shintek20]

In pratica, non hai capito perchè \( \displaystyle {x}{y}={r} \), giusto?
Dal punto \( \displaystyle {C} \) traccia l'altezza, che toccherà la base \( \displaystyle {A}{B} \) nel punto \( \displaystyle {E} \)
Ora, \( \displaystyle {C}{E}={2}{r} \) (banalmente) e inoltre \( \displaystyle {B}{E}={y}-{x} \)
Applica ora il teorema di Pitagora relativamente al triangolo rettangolo \( \displaystyle {B}{E}{C} \)
Otterrai proprio quella formula

Ma è \( \displaystyle {x}{y}={{r}}^{{2}} \) e non \( \displaystyle {x}{y}={r} \)

Comunque ci ho provato
\( \displaystyle {C}{B}=\sqrt{{{4}{{r}}^{{2}}+{{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}-{2}{x}{y}}} \)
Mi risulta cosi...

[Gi8]

Sì, ma \( \displaystyle {C}{B}={x}+{y} \), come puoi vedere dal disegno.
Dunque \( \displaystyle {{\left({x}+{y}\right)}}^{{2}}={4}{{r}}^{{2}}+{{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}-{2}{x}{y} \)...
(volevo scrivertelo anche prima, ma poi mi sono detto "ma no, ci arriverà sicuramente da solo" )

[shintek20]

Sì, ma \( \displaystyle {C}{B}={x}+{y} \), come puoi vedere dal disegno.
Dunque \( \displaystyle {{\left({x}+{y}\right)}}^{{2}}={4}{{r}}^{{2}}+{{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}-{2}{x}{y} \)...
(volevo scrivertelo anche prima, ma poi mi sono detto "ma no, ci arriverà sicuramente da solo" )

Ah si scusami,hai ragione...comunque ok mi è risultato \( \displaystyle {x}{y}={{r}}^{{2}} \)...
Ma ora cosa devo fare?

[vittorino70]

L'incentro di un poligono circoscrittibile è l'intersezione delle bisettrici dei suoi angoli.
Esaminando la figura si vede allora che CO e BO sono bisettrici degli angoli del trapezio in C ed in B.
Ma questi due angoli sono supplementari ( perché coniugati interni ) e quindi la somma delle loro metà
è 90°.Conseguentemente il triangolo BOC è rettangolo in O e per il 2° Teorema di Euclide hai:
\(\displaystyle xy=r^2 \)
A questo punto l'area S del trapezio è:
\(\displaystyle S_{ABCD}=\frac{(2x+2y)(2r)}{2} =2r(x+y)\)
Il minimo di A lo puoi avere senza ricorrere alle derivate.Basta che osservi che è:
\(\displaystyle (x+y)^2=(x-y)^2+4xy=(x-y)^2+4r^2 \)
E poiché \(\displaystyle 4r^2=costante \),è evidente che il minimo di \(\displaystyle (x+y)^2 \) ,e quindi di \(\displaystyle x+y \), lo ottieni quando è \(\displaystyle x-y=0 \) da cui \(\displaystyle x=y \).Ovvero l'area minima si ottiene quando il trapezio diventa un quadrato.

[shintek20]

Il minimo di A lo puoi avere senza ricorrere alle derivate.Basta che osservi che è:
(x+y)2=(x−y)2+4xy=(x−y)2+4r2
E poiché 4r2=costante,è evidente che il minimo di (x+y)2 ,e quindi di x+y, lo ottieni quando è x−y=0 da cui x=y.Ovvero l'area minima si ottiene quando il trapezio diventa un quadrato.

MI dispiace,ma non ho capito la risoluzione finale

[Gi8]

In effetti il fatto che \( \displaystyle {x}{y}={{r}}^{{2}} \) serve a poco.
Provo a spiegarti meglio quello che ha scritto vittorino70:
Abbiamo dimostrato che \( \displaystyle {{\left({x}+{y}\right)}}^{{2}}={4}{{r}}^{{2}}+{{\left({y}-{x}\right)}}^{{2}} \). Dunque vale \( \displaystyle {x}+{y}=\sqrt{{{4}{{r}}^{{2}}+{{\left({y}-{x}\right)}}^{{2}}}} \)

La formula dell'area diventa \( \displaystyle {A}={2}{r}\cdot\sqrt{{{4}{{r}}^{{2}}+{{\left({y}-{x}\right)}}^{{2}}}} \)
Ora ti chiedo: riesci a capire in quale caso abbiamo l'area minima ?
tieni presente che \( \displaystyle {r} \) è una costante fissata (cioè puoi lavorare solo su \( \displaystyle {x} \) e \( \displaystyle {y} \))

[shintek20]

Io so che l'area minima e quando abbiamo il valore minimo della derivata dell'area... Ma non riesco a capire qui cosa devo fare :\

[Gi8]

Io so che l'area minima e quando abbiamo il valore minimo della derivata dell'area...

Non l'ho capita

La formula dell'area diventa \( \displaystyle {A}={2}{r}\cdot\sqrt{{{4}{{r}}^{{2}}+{{\left({y}-{x}\right)}}^{{2}}}} \)

L'unico pezzo che possiamo manipolare è \( \displaystyle {{\left({x}-{y}\right)}}^{{2}} \)

Poiché vogliamo il minimo (e dato che \( \displaystyle {{\left({y}-{x}\right)}}^{{2}}\ge{0} \)) , dobbiamo imporre \( \displaystyle {y}-{x}={0} \)