Problemi di numeri interi

[xXStephXx]

1)
Stabilire per quali coppie di numeri primi (positivi) \( \displaystyle p,q \) il polinomio \( \displaystyle f(x)= x^2-(7q+1)x +2p \) ha due radici intere.


2)
Stabilire quante sono le terne ordinate di numeri naturali \( \displaystyle (x,y,z) \) tali che \( \displaystyle 6x+10y+15z=2400 \)



3)
Quali numeri naturali non possono essere ottenuti come differenza dei quadrati di due interi? Si dimostri la risposta fornita.

Sono tutti presi da un test, fateli se non avete niente da fare...

[@melia]

3

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i numeri pari non divisibili per 4

Per il 2 ci devo pensare perché ho seguito due strade diverse e ho ottenuto risultati diversi

Per l'1 spero che sia una via migliore della mia: prendere il discriminante e fare tutte le prove.

[xXStephXx]

il 3 è corretto!!

Per quanto riguarda l'1) è possibile lavorare sulla somma e prodotto.

[orazioster]

2° quesito: \( \displaystyle {3321} \)

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intanto considero che \( \displaystyle \frac{{x}}{{5}}+\frac{{y}}{{3}}+\frac{{z}}{{2}}={80} \) quindi
\( \displaystyle {x} \) è divisibile per \( \displaystyle {5} \), \( \displaystyle {y} \) per \( \displaystyle {3} \) e \( \displaystyle {z} \) per \( \displaystyle {2} \).

Ora:
\( \displaystyle {x}={400}-\frac{{5}}{{3}}{y}-\frac{{5}}{{2}}{z} \)
quindi il punto è vedere quante le coppie di interi \( \displaystyle {\left({y},{z}\right)} \) tali che
\( \displaystyle \frac{{y}}{{3}}+\frac{{z}}{{2}}\le{80} \)

Ovvero:
\( \displaystyle {y}\le{240}-\frac{{3}}{{2}}{z} \) , \( \displaystyle {y}{\left|{3},{z}\right|}{2} \)

Siccome \( \displaystyle {z} \) può variare da (di \( \displaystyle {2} \) in \( \displaystyle {2} \)!) \( \displaystyle {0} \) a \( \displaystyle {160} \),
i valori di \( \displaystyle {y} \) che soddisfino la disequazione saranno in numero:
\( \displaystyle {\left(\frac{{240}}{{3}}+{1}\right)}+{\left(\frac{{{240}-{3}}}{{3}}+{1}\right)}+\ldots{\left(\frac{{{240}-{240}}}{{3}}+{1}\right)} \), "\( \displaystyle +{1} \)" perchè considero anche il valore \( \displaystyle {0} \).

Così le terne sono in numero \( \displaystyle {81}+{80}+\ldots+{1}={\left(\frac{{82}}{{2}}\right)}\cdot{81}={3321} \).

ovviamente si giunge alla stessa conclusione considerando le incognite in un altro ordine

[xXStephXx]

Perfetto!! Per chi fosse interessato, questi problemi sono presi da un stage di preparazione alle olimpiadi della matematica..

[Delirium]

1)
Stabilire per quali coppie di numeri primi (positivi) \( \displaystyle p,q \) il polinomio \( \displaystyle f(x)= x^2-(7q+1)x +2p \) ha due radici intere. [...]

Visto che questo non se lo fila nessuno...

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\( (7,2) \) e \( (13,2) \) ? Spero di non aver dimenticato qualcosa...

[xXStephXx]