Problemi di numeri primi e quadrati perfetti

[Dhindhimathai]

Mi è capitato molte volte di partecipare a concorsi matematici e spesso ho trovato problemi per me molto difficili. Tutti questi avevano la solita impostazione di base: data un'espressione letterale in a e b o in m e n (con a,b,m e n INTERI) , mi chiedevano di dimostrare ke tale espressione era o un numero primo o un quadrato perfetto o un intero o un numero irrazionale o un multiplo di un numero dat.

Avete un metodo per risolvere tali problemi...? In base alle conoscenze di 5a Liceo?

Per esempio, vi do questi due quesiti:

1) Dato un numero \( \displaystyle {n} \) intero dimostrare che \( \displaystyle \sqrt{{{n}-{1}}} \) è un numero irrazionale (con \( \displaystyle {n}\geq{1} \) )

2) Dati \( \displaystyle {x},{y},{z} \) interi non negativi, dimostrare che \( \displaystyle {{4}}^{{x}}+{{4}}^{{y}}+{{4}}^{{z}} \) è un quadrato perfetto per infinite terne \( \displaystyle {x},{y},{z} \)

GRAZIE MILLE IN ANTICIPO... Qualsiasi aiuto anche il più piccolo è gradito... GRAZIE!

[adaBTTLS]

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il primo quesito, detto così, ovviamente è falso: allora non esisterebbero quadrati perfetti!

il secondo si può dimostrare con una piccola manipolazione algebrica: si prendano due numeri interi positivi \( \displaystyle {x},{z} \) che non siano della stessa parità.
basta che siano uno pari ed uno dispari, possono essere per il resto totalmente arbitrari. allora basta prendere \( \displaystyle {y}=\frac{{{x}+{z}+{1}}}{{2}} \) ed il gioco è fatto.

[Dhindhimathai]

Scusami... come hai fatto a trovare la soluzione del secondo? Mi potrasti spiegare i passaggi logici???

Ti posso chiedere di aiutarmi con un'altro problema?

- Determinare tutte le coppie \( \displaystyle {m} \) \( \displaystyle {n} \) di interi positivi per cui \( \displaystyle {\sqrt[{{60}}]{{{{m}}^{{{{n}}^{{5}}-{n}}}}}} \) risulta un'intero...

Grazie mille....

[adaBTTLS]

prego.

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ho scritto 4 come il quadrato di 2 e un termine (ad esempio quello medio) ho cercato di scriverlo come doppio prodotto:

\( \displaystyle {{2}}^{{{2}{x}}}+{2}\cdot{{2}}^{{{2}{y}-{1}}}+{{2}}^{{{2}{z}}}={{\left({{2}}^{{x}}\right)}}^{{2}}+{2}\cdot{{2}}^{{{2}{y}-{1}}}+{{\left({{2}}^{{z}}\right)}}^{{2}} \)
se impongo che il secondo termine sia il doppio prodotto delle basi dei quadrati degli altri due: \( \displaystyle {{2}}^{{{2}{y}-{1}}}={{2}}^{{x}}\cdot{{2}}^{{z}}={{2}}^{{{x}+{z}}} \)
ricavo \( \displaystyle {2}{y}-{1}={x}+{z} \) e il testo in questo caso diventa \( \displaystyle {{\left({{2}}^{{x}}+{{2}}^{{z}}\right)}}^{{2}} \)

per l'esercizio nuovo, deve risultare \( \displaystyle {m}={1} \) per qualunque valore di \( \displaystyle {n} \) oppure \( \displaystyle {{n}}^{{5}}-{n} \) multiplo di \( \displaystyle {60} \)
se scomponi ottieni \( \displaystyle {n}{\left({{n}}^{{4}}-{1}\right)}={n}{\left({n}-{1}\right)}{\left({n}+{1}\right)}{\left({{n}}^{{2}}+{1}\right)} \) multiplo di \( \displaystyle {60}={{2}}^{{2}}\cdot{3}\cdot{5} \)
se n è pari, gli altri tre sono dispari, dunque deve essere n multiplo di 4, altrimenti,
se n è dispari gli altri tre sono pari, per cui il numero è multiplo di 4;
(n-1), n, (n+1) sono interi consecutivi, quindi uno dei tre è multiplo di 3;
per quanto riguarda la divisibilità per 5:
se \( \displaystyle {n}\equiv{0},{1},{4}{\left(\text{mod}{5}\right)} \), è multiplo di 5 \( \displaystyle {n}{\left({n}-{1}\right)}{\left({n}+{1}\right)} \), altrimenti,
se \( \displaystyle {n}\equiv{2},{3}{\left(\text{mod}{5}\right)} \), è multiplo di 5 \( \displaystyle {\left({{n}}^{{2}}+{1}\right)} \)

quindi non è intero solo se \( \displaystyle {m}\gt{1},{n}\equiv{2}{\left(\text{mod}{4}\right)} \)