Problemi teoria dei gruppi

[mistake89]

Volevo chiedervi se un esercizio del genere possa essere svolto in questo modo oppure mi sto perdendo qualche passaggio.
Dimostrare che un gruppo $G$ di ordine $300$ non è semplice.

Per il teorema di sylow sappiamo che $G$ ammette $2$-sylow, $3$-sylow e $5$-sylow.
Verifico quanti $5$-sylow ci sono. il loro numero deve dividere $3*2^2$ ed essere congruo ad $1$, $mod5$. Quindi $s_5=1$ e pertanto l'unico $5$-sylow è normale. Allora $G$ ammette un sottogruppo normale non banale e pertanto non è semplice.

Basta questo?

Grazie

[vict85]

Certo.

[mistake89]

Grazie vict!

[Martino]

Dovresti discutere anche il caso $s_5=6$.

[mistake89]

Ne approfitto per scrivere qualche dubbio che mi è sorto facendo problemi analoghi. Magari edito il titolo così da non rendere tutto dispersivo.

Provare che ogni gruppo di ordine $30$ ha un sottogruppo normale di ordine $3$ o $5$.
Analogamente rispetto a prima arrivo a dire che i $3$-sylow sono o $1$ (ed in tal caso il gruppo è normale) oppure $10$, mentre i $5$-sylow sono $1$ oppure $6$.
Credo per arrivare alla mia tesi debba mostrare che non possono esserci contemporaneamente $10$ $3$-sylow e $6$ $5$-sylow, ma non saprei come mostrar ciò.

[mistake89]

Dovresti discutere anche il caso $s_5=6$.

Effettivamente ho sbagliato a fare una moltiplicazione

[mistake89]

Allora ci provo: se $s_5=6$ allora io so che l'indice di $N$ in $G$ è $6$ e poichè $300$ non divide $6!$ allora $N$ deve contenere un sottogruppo normale proprio di $G$ e pertanto anche in questo caso $G$ non è semplice.

[Martino]

Allora ci provo: se $s_5=6$ allora io so che l'indice di $N$ in $G$ è $6$ e poichè 300 non divide $6!$ allora $N$ deve contenere un sottogruppo normale proprio di $G$ e pertanto anche in questo caso $G$ non è semplice.

Giusto per accennare a quello che ci sta sotto: l'azione sui laterali, siamo sempre lì

Quanto al gruppo di ordine 30, puoi ragionare sugli elementi di ordine 5 e quelli di ordine 3.

[mistake89]

Grazie Martino come sempre
Ricordavo una particolare applicazione del teorema di Cayley e così ci ho provato

Quanto al gruppo di ordine 30 vedrò di pensarci un po' e vediamo che ne salta fuori. Grazie ancora

[giaorl]

Posso proporre una mia soluzione al problema del gruppo di ordine 30? Giusto per vedere se ho colto.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$|G|=2\cdot 3 \cdot 5$. Siano $s_3$ e $s_5$ rispettivamente il numero dei $3$-Sylow e il numero dei $5$-Sylow. Allora $s_3$ divide $10$ ed è congruo a $1$ modulo $3$, dunque $s_3 \in \{1,10\}$. Con un ragionamento analogo $s_5 \in \{1,6\}$. Voglio provare che $G$ ha un sottogruppo normale di ordine $3$ o $5$. Ciò è vero perchè $s_3 = 1 vv s_5 = 1$. Se così non fosse, cioè $s_3 = 10 ^^ s_5 = 6$, si avrebbero $10$ $3$-Sylow, pertanto $20$ elementi distinti (i $10$ elementi di periodo $3$ e i loro inversi), $6$ $5$-Sylow, dunque $24$ elementi ancora distinti (le potenze degli elementi di periodo $5$ distinti) e si supererebbe il numero di elementi del gruppo $G$...

Non riesco a ripetere un ragionamento analogo per provare che un gruppo di ordine $36$ non può essere semplice però...