problemino veloce, con la pressione nei fluidi

[Cantaro86]

salve a tutti,

ho un problemino da risolvere, allora:

ho a disposizione un tubo di gomma di sezione A con all'interno dell'acqua che si muove con velocità costante v, poi avvicino l'estremità del tubo ad un corpo che sotto l'effetto della forza esercitata dall'acqua si sposta.
a questo punto voglio provare a raddoppiare o la sezione del tubo A o la velocità dell'acqua v per spostare maggiormente il corpo... quale delle 2 mi conviene raddoppiare??
(supponiamo che il tubo e il corpo siano su un piano cosi da non considerare le differenze di energia potenziale gravitazionale)

[kinder]

dovresti specificare meglio alcune cose:
1) cosa intendi dire con spostare di più? Ti riferisci alla forza esercitata dall'acqua sul corpo?
2) con quale metrica musuri la convenienza?
3) su quale base ritieni che le due opzioni che indichi siano equivalenti in termini di effetto sul corpo?

[Cantaro86]

si, in effetti l'ho scritto cercando di usare parole troppo semplici...

- volevo sapere in quale dei 2 casi la forza esercitata dall'acqua sulla parete del corpo è maggiore
- visto che voglio ottenere lo "spostamento maggiore" quindi voglio imprimere al corpo la maggior forza, devo scegliere se è più conveniente raddoppiare la velocità o la sezione
- non so a priori gli effetti sul corpo, ma è quello che devo ricavare per poi poter scegliere

grazie

[kinder]

hai provato a calcolare la forza esercitata sul corpo dal getto dell'acqua? Se lo fai, ti rendi conto di come dipenda dai dati (sezione e velocità). Per farlo, però, dovrai aggiungere qualche ipotesi su come l'acqua impatta sul corpo, in relazione alla sua forma e costituzione.

[Cantaro86]

l'oggetto possiamo immaginarlo come un piano, ortogonale al getto d'acqua.

non penso sia un esercizio tanto difficile... \( \displaystyle {F}={p}{A} \)
se qualcuno riesce a scrivermi la sua espressione della forza in funzione di A e di v lo ringrazio...
il fatto è che c'è qualcosa che non mi torna e volevo prima vedere cosa viene a voi.

[kinder]

l'esercizio non è tanto difficile. Ma a quanto pare lo è sufficientemente per farti sbagliare
Se suppuni che il getto d'acqua urti ortogonalmente al corpo piano e che, dopo l'urto, l'acqua scorra parallelamente al piano, allora hai che la componente ortogonale al piano della quantità di moto dell'acqua si annulla dopo l'impatto. Questo richiede che sull'acqua agisca una forza, esercitata dal piano, uguale alla variazione della quantità di moto citata. Calcoliamola.
In un tempo \( \displaystyle {\left.{d}{t}\right.} \) dal tubo esce una massa d'acqua \( \displaystyle {d}{m}={A}\cdot\rho\cdot{v}\cdot{\left.{d}{t}\right.} \). Questa ha componente ortogonale al piano della qdm pari a: \( \displaystyle {d}{q}={d}{m}\cdot{v}={A}\cdot\rho\cdot{{v}}^{{2}}{\left.{d}{t}\right.} \). Questa componente viene annullata dall'impulso della forza \( \displaystyle {F} \) generata dal piano, in accordo al teorema dell'impulso, per cui: \( \displaystyle {F}{\left.{d}{t}\right.}={A}\cdot\rho\cdot{{v}}^{{2}}{\left.{d}{t}\right.} \), nella quale, semplificando \( \displaystyle {\left.{d}{t}\right.} \), ottieni: \( \displaystyle {F}={A}\cdot\rho\cdot{{v}}^{{2}} \). A parte il segno, per il terzo principio della dinamica questa è anche la forza esercitata dal getto d'acqua sul corpo piano.
Come puoi vedere, il raddoppio della sezione ed il raddoppio della velocità non sono opzioni equivalenti.
Ma vedi anche un'altra cosa: che la pressione non c'entra niente. L'acqua che esce dal tubo è a pressione atmosferica.

p.s. incidentalmente, sappi che questo calcolo è imparentato con quello con cui si dimensionano le turbine ad acqua ad azione.

[Cantaro86]

grazie per la risposta!!

ora ti scrivo come avevo fatto io e ti scrivo anche i dubbi che mi sono venuti:

Per risolverlo ho considerato il teorema di Bernoulli prendendo solo la parte data dalla pressione dinamica \( \displaystyle {p}=\frac{{1}}{{2}}\rho{{v}}^{{2}} \) e inserendo in \( \displaystyle {F}={p}{A} \) viene \( \displaystyle {F}=\frac{{1}}{{2}}\rho{{v}}^{{2}}{A} \) che a parte il termine \( \displaystyle \frac{{1}}{{2}} \) è uguale alla formula che hai scritto tu...

ma a me è venuto un dubbio:
- se proviamo a raddoppiare A allora è come se prendo 2 tubi di sezione A, e quindi basta che sommo le 2 forze uguali e vedo che la forza risultante è il doppio.
- mentre nel caso in cui voglio raddoppiare la velocità, immagino un volume di fluido \( \displaystyle {d}{V}={A}{\left.{d}{x}\right.} \) che conterrà un certo numero di particelle tutte con la stessa velocità e quindi con la stessa quantità di moto. La quantità di moto totale è la somma delle quantità di moto di ogni particella, quindi se ogni particella ha velocità doppia anche la quantità di moto totale (del volume) è doppia.
Se per il teorema dell'impulso ho \( \displaystyle {d}{Q}={F}{\left.{d}{t}\right.} \) ho che per un Q doppio anche F sarà doppia...

quindi vedo che c'è qualcosa che non torna...
dove sbaglio?? (anche se intuitivamente sarei più portato a dire che è sbagliata la prima formula trovata)

grazie

[kinder]

non c'è bisogno di andare nel microscopico.
Se raddoppi la velocità ottieni due effetti che si sommano:
1) raddoppia la qdm di ogni elemento \( \displaystyle {d}{q}={d}{m}\cdot{v} \)
2) raddoppia la portata massica che esce dal tubo \( \displaystyle {G}={A}\rho{v} \).
E' questa la ragione per cui il flusso di qdm è proporzionale al quadrato della velocità. In altri termini, la forza è data dal flusso di qdm come segue: \( \displaystyle {F}={G}{v} \)

[Cantaro86]

si...
ora ho capito dove sta il mio errore...

in effetti quando mi sono immaginato una volumetto formato da tante particelle di fluido con velocità doppia, non ho pensato che nel tempo dt le particelle che attraversano una certa sezione sono raddoppiate e che quindi il termine quadratico della velocità era corretto...
(la mia intuizione ha fatto cilecca)

ti ringrazio kinder per la disponibilità

ciao