Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.

[billytalentitalianfan]

Caso n=2.

Data una lista di vettori linearmente indipendenti \( \displaystyle {\left\lbrace{y}_{{1}},{y}_{{2}}\right\rbrace} \) è sempre possibile trovare un sistema ortogonale di vettori l.i. \( \displaystyle {\left\lbrace{x}_{{1}},{x}_{{2}}\right\rbrace} \) a partire dai vettori dati.

E’ infatti sufficiente porre \( \displaystyle {x}_{{1}}={y}_{{2}} \) e cercare un vettore \( \displaystyle {x}_{{2}} \) perpendicolare ad \( \displaystyle {x}_{{1}} \) tale che \( \displaystyle {x}_{{2}} \) appartenga a \( \displaystyle {s}{p}{a}{n}{\left\lbrace{x}_{{1}},{y}_{{2}}\right\rbrace} \).

Ecco, perché devo porre proprio \( \displaystyle {x}_{{2}}={y}_{{2}}-\frac{{\lt{y}_{{2}},{x}_{{1}}\gt\cdot{x}_{{1}}}}{{\lt{x}_{{1}},{x}_{{1}}\gt}} \) , (dove \( \displaystyle \frac{{\lt{y}_{{2}},{x}_{{1}}\gt\cdot{x}_{{1}}}}{{\lt{x}_{{1}},{x}_{{1}}\gt}} \) è la proiezione ortogonale di \( \displaystyle {y}_{{2}} \) su \( \displaystyle {x}_{{1}} \) ) ?

Algebricamente, applicando le proprietà del prodotto scalare, mi torna che \( \displaystyle {x}_{{2}} \) è perpendicolare ad \( \displaystyle {x}_{{1}} \), ma geometricamente no!

Se io sottraggo a \( \displaystyle {y}_{{2}} \) la sua proiezione su \( \displaystyle {x}_{{1}} \) (disegno alla mano, applicando la regola del parallelogramma) ottengo un vettore perpendicolare a\( \displaystyle {y}_{{2}} \) stesso, e non uno perpendicolare a \( \displaystyle {x}_{{1}} \) !

Dove sbaglio?

[beck_s]

Hai scritto \( \displaystyle {x}{1}={y}{2} \), mentre \( \displaystyle {x}{1}={y}{1} \)
spero sia questo, ciao buono studio