prodotti scalari e vettori isotropi

[angus89]

Ipotesi
Abbiamo \( \displaystyle {V} \) spazio vettoriale su \( \displaystyle {K} \).
il prodotto scalare \( \displaystyle {b}:{V}{x}{V}:\to{K} \) è semidefinito positivo.
Esiste una base di vettori isotropi \( \displaystyle {B}_{{V}}={\left({v}_{{1}},\ldots,{v}_{{n}}\right)} \)

Domanda:
Il prodotto scalare è degenere?





Allora...in realtà non sò bene da dove patire, se iniziare dicendendo che la matrice associata a questo prod. scalare ha la diagonale con tutti zeri, oppure se provare ad usare sylvester...

[alberto86]

Ma non dipende dal campo??

[angus89]

Ma non dipende dal campo??

In che senso?
Cosa c'entrerebbe il campo?
Stiamo parlando di un qualsiasi campo \( \displaystyle {K} \), ma se vuoi costruire un controesempio prendi pure il campo che vuoi

[dissonance]

Direi che la risposta è no. Prendiamo \( \displaystyle {V}={\mathbb{R}}^{{2}} \) e il prodotto scalare \( \displaystyle {\left\langle{\left({x}_{{1}},{y}_{{1}}\right)};{\left({x}_{{2}},{y}_{{2}}\right)}\right\rangle}={x}_{{1}}{y}_{{2}}+{y}_{{1}}{x}_{{2}}={\left({x}_{{1}},{y}_{{1}}\right)}{\left(\matrix{{0}&{1}\\{1}&{0}}\right)}{\left(\matrix{{x}_{{2}}\\{y}_{{2}}}\right)} \). Questo prodotto è non degenere ma la base \( \displaystyle {\left({1},{0}\right)},{\left({0},{1}\right)} \) di \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{2}} \) è composta da vettori isotropi.

[angus89]

Brutta notizia.
Non và bene.

Prendiamo come base \( \displaystyle {v}={\left({1},{1}\right)} \) e \( \displaystyle {w}={\left(-{1},{1}\right)} \), questa è una base ortogonale, ma \( \displaystyle {b}{\left({w},{w}\right)}=-{2} \)
Quindi la segnatura è \( \displaystyle {\left({1},{1},{0}\right)} \) e quindi non è semidefinito positivo

[angus89]

La dimostrazione non è proprio rigorosa ma ci provo

OSS 1
Ogmi matrice che rappresenta una forma bilineare, mediante un opportuno cambiamento di base, diventa una matrice diagonale. (Sylvester)
Se poi la base è ortonormale la matrice è particolarmente bella.

OSS 2
Se \( \displaystyle {v}\in{V} \) è un vettore isotropo, ovvero \( \displaystyle {b}{\left({v},{v}\right)}={0} \), anche cambiando base, \( \displaystyle {{v}}^{{I}} \) (vettore nella nuova base) è isotropo, ovvero \( \displaystyle {{b}}^{{I}}{\left({{v}}^{{I}},{{v}}^{{I}}\right)}={0} \) (dove \( \displaystyle {{b}}^{{I}} \) è la nuova forma biliniare la cui matrice è una matrice diagonale)

CONCLUSIONE
Possiamo limitarci a studiare il caso delle matrici diagonali.
Se un prodotto è definito positivo allora la matrice che lo rappresenta è l'identità e non esistono vettori isotropi.

Affinche èsistano vettori isotropi è necessario che
-sulla diagonale compaia almeno un numero negativo (il prodotto non sarebbe semidefinito positivo)
-sulla diagonale compaia almeno uno 0 (il prodotto sarebbe degenere)

Dunque in conlclusione all'esercizio abbiamo che necessariamente il profdotto scalare deve esser degenere

[dissonance]

Che fesso, non avevo visto la

il prodotto scalare b:VxV:→K è semidefinito positivo.

Con questa ipotesi aggiuntiva penso che la risposta sia affermativa e la tua dimostrazione credo vada bene. Ma se \( \displaystyle {K}=\mathbb{C} \) per "prodotto scalare" intendi una forma hermitiana o simmetrica?

[angus89]

La dimostrazione andrebbe fatta a prescindere dal campo.
Quindi l'importante è che venga rispettata la bilinearità e la simmetria.

Il problema se andiamo in \( \displaystyle {C} \) è che non vale sylvester quindi la mia dimostrazione non avrebbe valore.

E' possibile dimostrare il tutto senza usare sylvester?

[vict85]

Ogni forma bilineare simmetrica è diagonalizzabile in qualsiasi campo. In \( \displaystyle \mathbb{C} \) una matrice simmetrica è congruente ad una matrice con tutti 1 e 0 sulla diagonale. In \( \displaystyle \mathbb{R} \) con +1, -1 e 0 (con la segnatura costante). Anche le matrici hermitiane sono diagonalizzabili. Per il campo \( \displaystyle \mathbb{Q} \) le cose sono un po' più complesse e ignoro i campi finiti.

P.S: E' doveroso notare che la positività non ha senso in \( \displaystyle \mathbb{C} \) quindi avrebbe al limite senso parlare con sottocampi di \( \displaystyle \mathbb{R} \) ma date le difficoltà a lavorare con \( \displaystyle \mathbb{Q} \) dovute al fatto che \( \displaystyle {{x}}^{{2}}={b} \), e \( \displaystyle {b} \) positivo, non ha sempre soluzioni ti suggerirei di lasciare perdere.