[TdN]Prodotto dei primi primi

[xXStephXx]

Sia \( \displaystyle k_n =p_1\cdot p_2 \dots \cdot p_n \) il prodotto dei primi \( \displaystyle n \) numeri primi con \( \displaystyle n \geq 2 \) . Dimostrare che \( \displaystyle k_n-1 \) e \( \displaystyle k_n+1 \) non sono quadrati perfetti.

[Delirium]

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Sicuramente \(k_{n}\) è un numero pari in quanto il primo numero primo è il \(2\); quindi si deduce che sia \(k_{n}-1\) che \(k_{n}+1\) sono dispari.

Caso n°1: \(k_{n}+1\). Se il numero considerato è a sua volta primo (vedi numeri primi primoriali), la tesi è dimostrata. Qualora non lo fosse, ho imbastito il ragionamento come segue: poiché si sa che i residui quadratici modulo \(4\) sono \([0]\) e \([1]\) (in particolare il quadrato di un intero dispari è congruo a \(1\)), sarà sufficiente mostrare che \(k_{n}+1\) modulo \(4\) è diverso da \(1\); e questo avviene sicuramente in quanto \(k_{n}\) non è un multiplo di \(4\) (se infatti lo fosse si avrebbe che \(k_{n}=4t \ \rightarrow \ 2\cdot p_{2} \cdot p_{3} \cdot ... \cdot p_{n}=4t \ \rightarrow \ p_{2}\cdot p_{3} \cdot ... \cdot p_{n}=2t\) con \(t\) intero, il che è palesemente assurdo), e i pari non multipli di \(4\) divisi per \(4\) danno resto \(2\). Pertanto \((k_{n}+1)\;\bmod\; 4=k_{n} \; \bmod \; 4 + 1 \; \bmod \; 4 \; (\bmod \;4)=3 \; \bmod \; 4=3\), che non è residuo quadratico modulo \(4\).

Caso n°2: \(k_{n}-1\). Sicuramente \(k_{n} \; \bmod \; 3=0\) in quanto \(k_{n}\) è multiplo di \(3\); pertanto \((k_{n}-1) \; \bmod \; 3=2\), che non è residuo quadratico modulo \(3\).

Questo è quanto.

[xXStephXx]

Ok, va bene
Mi chiedo solo come hai fatto a farlo alle 2:15 xD

[Delirium]

Eh... Mi sa che mi manca qualche rotella

Comunque molto bello questo problemino.

[EISguys]

io non sono un esperto di teoria dei numeri e nemmeno delle proprietà delle congruenze. Ho provato a ragionare quindi così:

1) dimostro per assurdo che \( \displaystyle {k}_{{n}}+{1}={{l}}^{{2}} \).
Se questo è vero allora posso scrivere \( \displaystyle {k}_{{n}}={\left({l}+{1}\right)}{\left({l}-{1}\right)} \). \( \displaystyle {k}_{{n}} \) è pari perché \( \displaystyle {p}_{{1}}={2} \). Allora anche \( \displaystyle {\left({l}+{1}\right)}{\left({l}-{1}\right)} \) deve essere pari. Ma se questo è vero almeno uno dei due fattori deve essere pari, ma poiché tra i due fattori c'è solo una differenza di due unità, allora anche l'altro fattore deve essere pari.
Questo vuol dire però che il prodotto \( \displaystyle {\left({l}+{1}\right)}{\left({l}-{1}\right)} \) è multiplo di 4. E quindi dovrebbe esserlo anche \( \displaystyle {K}_{{n}} \), il che è un assurdo, perché l'unico fattore pari di \( \displaystyle {k}_{{n}} \) è il 2.

Non riesco a fare una ragionamento di questo tipo per il secondo caso però...ci penserò..

saluti

[xXStephXx]

La prima parte l'ho risolta come te, per la seconda parte ho usato le congruenze, anche perchè fare una scomposizione è impossibile.