Prodotto di campi

[Martino]

Esercizio carino.

Sia dato un campo $k_i$ (con $1 \ne 0$) per ogni $i \in NN$. Consideriamo l'anello $A=\prod_{i \in NN}k_i$ con somma e prodotto definiti componente per componente. Mostrare che in A ogni ideale primo è massimale.

[fields]

Ogni ideale di $A$ è univocamente determinato dall'insieme delle $s:NN->{0,1}$ che contiene. Infatti, siano $I,J$ ideali di $A$ che contengono le stesse $s:NN->{0,1}$. Allora, dato un qualunque $f\in I$, possiamo considerare una funzione $g\in A$ tale che $g(x)=f(x)^(-1)$ se $f(x)\ne 0$, mentre $g(x)=0$ altrimenti. Abbiamo allora che $f(x)g(x)=1$ per ogni $x\in NN$ tale che $f(x)\ne 0$, mentre $f(x)g(x)=0$ altrimenti. Quindi ponendo $s(x)=g(x)f(x)$ abbiamo che $s: NN->{0,1}$, $s\in I$ e dunque $s\in J$. Inoltre per ogni $x\in NN$, $f(x)=f(x)f(x)g(x)=f(x)s(x)$; quindi $f=fs\in J$. Concludiamo dunque che $I=J$.

Sia ora $I$ ideale primo di $A$. Se, data $s\in NN\{0,1}$, indichiamo con $\bar s$ la funzione complemento ($\bar s(x)=1-s(x)$), abbiamo che $s\bar s=0\in I$ e dunque $s\in I$ o $\bar s \in I$.

Dunque sia $J$ un ideale di $A$ tale che $I\sub J$. Allora, dal momento che $J$ e $I$ sono univocamente determinati dall'insieme delle $s:NN->{0,1}$ che contengono esiste una $s:NN->{0,1}$ tale che $s\in J$ e $\bar s\in J$. Dunque $1=s+\bar s\in J$ e dunque $J=A$.

[Martino]

Complimenti, dimostrazione molto elegante.

Posto quella di cui sono a conoscenza (non è mia):

Se P è ideale primo di A e $x \in A$ è non nullo in A/P, consideriamo l'elemento u di A definito da: $u_i=1/(x_i)$ se $x_i \ne 0$, $u_i=1$ se $x_i=0$. Allora u è invertibile in A (non avendo componenti nulle) e detto s:=ux, si ha $s^2=s$ (perché le componenti non nulle di s sono tutte 1). Ne segue che la classe di s in A/P è 0 oppure 1 (perché A/P è anello integro e $s(s-1)=0$). Poiché x è non nullo in A/P e u è invertibile, s non è 0 in A/P (altrimenti l'elemento invertibile u apparterrebbe a P, falso in quanto $P \ne A$). Quindi s è 1 in A/P, ovvero xu=1 mod P, ovvero x è invertibile mod P. Questo vale per ogni x, quindi A/P è campo.