Prodotto infinito (facile)

[carlo23]

è carino questo teorema

\( \displaystyle {\prod_{{{n}={0}}}^{\infty}}{\left({1}+{{x}}^{{{{2}}^{{n}}}}\right)}=\frac{{1}}{{{1}-{x}}} \)

qualcuno lo sa dimostrare? (non è difficile io l'ho dimostrato in un supermercato...)

[Giusepperoma]

non ho il programma per leggere le formule... quindi forse capisco male il testo... ma per quello che leggo mi sembra sbagliato

se x=2 la formula dice che

il prodotto infinito di

1+2^(2^n)=-1 !!!!!

leggo male io o c'e' un errore di battitura?

grazie!

[carlo23]

non ho il programma per leggere le formule... quindi forse capisco male il testo... ma per quello che leggo mi sembra sbagliato

se x=2 la formula dice che

il prodotto infinito di

1+2^(2^n)=-1 !!!!!

leggo male io o ch'e' un errore di battitura?

grazie!

ho dimenticato di scrivere \( \displaystyle \forall{\left|{x}\right|}\lt{1} \)

[Giusepperoma]

scusa Carlo,

non e' che ti si scordato anche una x a numeratore...

A me il prodotto viene

x/(1-x)

ciao

[eafkuor]

\( \displaystyle {\prod_{{{n}={0}}}^{\infty}}{\left({1}+{{x}}^{{{{2}}^{{n}}}}\right)}=\frac{{1}}{{{1}-{x}}} \)

si vede facilmente che in generale

\( \displaystyle {\left({1}-{{x}}^{{{{2}}^{{i}}}}\right)}{\prod_{{{n}={i}}}^{\infty}}{\left({1}+{{x}}^{{{{2}}^{{n}}}}\right)}={1} \)

da cui segue che

\( \displaystyle {\prod_{{{n}={i}}}^{\infty}}{\left({1}+{{x}}^{{{{2}}^{{n}}}}\right)}-{\left({{x}}^{{{{2}}^{{i}}}}\right)}{\prod_{{{n}={i}}}^{\infty}}{\left({1}+{{x}}^{{{{2}}^{{n}}}}\right)}={1} \)

a questo punto rimango un po' perplesso, infatti sia

\( \displaystyle {\prod_{{{n}={i}}}^{\infty}}{\left({1}+{{x}}^{{{{2}}^{{n}}}}\right)} \) che \( \displaystyle {\left({{x}}^{{{{2}}^{{i}}}}\right)}{\prod_{{{n}={i}}}^{\infty}}{\left({1}+{{x}}^{{{{2}}^{{n}}}}\right)} \) non dovrebbero valere infinito? insomma, sono il prodotto di infiniti termini maggiori di 1 o no? e come fa la loro differenza ad essere 1? i misteri della matematica...

[eafkuor]

ops mentre scrivevo la risposta avete postato voi

EDIT: ma come si fa a calcolare un prodotto infinito?

[carlo23]

scusa Carlo,

non e' che ti si scordato anche una x a numeratore...

A me il prodotto viene

x/(1-x)

ciao

consideriamo il prodotto parziale

\( \displaystyle {P}{\left({k}\right)}={\prod_{{{n}={0}}}^{{k}}}{\left({1}+{{x}}^{{{{2}}^{{n}}}}\right)} \)

si ha che

\( \displaystyle {P}{\left({0}\right)}={1}+{x} \)

\( \displaystyle {P}{\left({1}\right)}={1}+{x}+{{x}}^{{2}}+{{x}}^{{3}} \)

\( \displaystyle {P}{\left({2}\right)}={1}+{x}+{{x}}^{{2}}+{{x}}^{{3}}+{{x}}^{{4}}+{{x}}^{{5}}+{{x}}^{{6}}+{{x}}^{{7}} \)

è facile dimostrare (sapendo che ogni numero si scrive in modo unico come somma di potenze di 2) che si ha

\( \displaystyle {P}{\left(\infty\right)}={1}+{x}+{{x}}^{{2}}+{{x}}^{{3}}+{{x}}^{{4}}+{{x}}^{{5}}+{{x}}^{{6}}+{{x}}^{{7}}+{{x}}^{{8}}+\ldots \)

e l'ultima è la serie geometrica uguale a \( \displaystyle \frac{{1}}{{{1}-{x}}} \)

[carlo23]

ops mentre scrivevo la risposta avete postato voi

EDIT: ma come si fa a calcolare un prodotto infinito?

se tu hai un prodotto infinito nella forma

\( \displaystyle {\prod_{{{n}={0}}}^{\infty}}{a}_{{n}} \)

dove \( \displaystyle {\left({a}_{{n}}\right)}_{{n}} \) è una successione di numeri qualsiasi, dalle proprietà del logaritmo trovi che

\( \displaystyle {\prod_{{{n}={0}}}^{\infty}}{a}_{{n}}={{e}}^{{{\sum_{{{n}={0}}}^{\infty}}{\ln{{a}}}_{{n}}}} \)

cioè perchè il prodotto converga deve convergere anche

\( \displaystyle {\sum_{{{n}={0}}}^{\infty}}{\ln{{\left({a}_{{n}}\right)}}} \)

con sto metodo vedi che se \( \displaystyle {\left|{x}\right|}\lt{1} \) allora il prodotto che avevo scritto converge

[Giusepperoma]

Ho fatto esattamente cosi', ma a meno che la memoria non mi inganni la sommatoria fa

x/(1-x)

[carlo23]

Ho fatto esattamente cosi', ma a meno che la memoria non mi inganni la sommatoria fa

x/(1-x)

La memoria a volte inganna, tu hai

\( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={1}+{x}+{{x}}^{{2}}+{{x}}^{{3}}+{{x}}^{{4}}+\ldots \)\( \displaystyle {\left|{x}\right|}\lt{1} \)

allora moltiplichi tutto per \( \displaystyle {1}-{x} \) è ottieni

\( \displaystyle {\left({1}-{x}\right)}{f{{\left({x}\right)}}}={1}+{\left({x}-{x}\right)}+{\left({{x}}^{{2}}-{{x}}^{{2}}\right)}+{\left({{x}}^{{3}}-{{x}}^{{3}}\right)}+{\left({{x}}^{{4}}-{{x}}^{{4}}\right)}+\ldots={1} \)

quindi

\( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}=\frac{{1}}{{{1}-{x}}} \)