Prodotto scalare dei polinomi

[Rock Drummer]

salve gente.. ho cercato ma non ho trovato risposte riguardo questo esercizio, quindi chiedo cortesemente il vostro aiuto.
Devo calcolare il prodotto scalare dei polinomi p(t)=\( \displaystyle {2}\cdot{{t}}^{{2}} \) +2t +2 e q(t)=\( \displaystyle -{{t}}^{{2}} \)+2t\( \displaystyle -\sqrt{{{3}}} \).
il prodotto scalare tra due vettori so come si fa ma tra polinomi no. grazie.

[NightKnight]

Basta che consideri il vettore dei coefficienti: \( \displaystyle {v}={\left({2},{2},{2}\right)}\ ,\ {w}={\left(-{1},{2},-\sqrt{{{3}}}\right.} \)

[Camillo]

Basta che consideri il vettore dei coefficienti: \( \displaystyle {v}={\left({2},{2},{2}\right)}\ ,\ {w}={\left(-{1},{2},-\sqrt{{{3}}}\right.} \)

E che significato possiamo attribuire al risultato \( \displaystyle {2}-{2}\sqrt{{{3}}} \) ?

[Rock Drummer]

se è così il risultato dovrebbe essere \( \displaystyle {2}-{2}\cdot\sqrt{{{3}}} \) come dice camillo... sicuri che è così?

[NightKnight]

E che significato possiamo attribuire al risultato \( \displaystyle {2}-{2}\sqrt{{{3}}} \) ?

Cosa intendi??

[Camillo]

Intendo che il prodotto scalare di due vettori nello spazio euclideo produce un numero reale che è la misura della proiezione di un vettore sull'altro (se uno dei due vettori è un versore).
Nel caso dei polinomi cerco di rendermi conto a cosa potrebbe essere assimilato il pordotto scalare...

[gugo82]

Se posso intromettermi...

In realtà sui polinomi si possono fare due diversi tipi di considerazioni, a seconda che li si consideri come fanno gli algebristi o come fanno gli analisti.
La differenza consiste in questo: per un algebrista, un polinomio non è né più né meno di una successione definitivamente nulla a valori in un anello (ad esempio \( \displaystyle \mathbb{R} \)); per un analista di norma un polinomio è un'applicazione che contiene unicamente una combinazione lineare di alcune potenze intere della variabile.

Dal punto di vista "algebrico", l'anello dei polinomi reali \( \displaystyle \mathbb{R}{\left[{X}\right]} \) è praticamente indentificato con la classe delle successioni definitivamente nulle:

\( \displaystyle {c}_{{{00}}}\:={\left\lbrace{p}={\left({p}_{{n}}\right)}\subseteq\mathbb{R}:\exists\nu\in\mathbb{N}_{{0}}:\forall{n}\ge\nu,{p}_{{n}}={0}\right\rbrace} \),

quindi si può mettere su \( \displaystyle \mathbb{R}{\left[{X}\right]} \) il prodotto scalare canonico di \( \displaystyle {c}_{{{00}}} \), ossia:

(a) \( \displaystyle {\left\langle{p},{q}\right\rangle}\:={\sum_{{{n}={0}}}^{{+\infty}}}{p}_{{n}}{q}_{{n}} \)

(ciò equivale a fare le somme dei prodotti dei coefficienti delle potenze omologhe); noto che la serie a secondo membro è, in realtà, una somma finita.

Dal punto di vista "analitico", viene naturale considerare le restrizioni dei polinomi ad intervalli limitati, tipo \( \displaystyle {\left[{a},{b}\right]} \), e quindi di solito si mette su \( \displaystyle \mathbb{R}{\left[{X}\right]} \) il prodotto scalare integrale:

(b) \( \displaystyle {\left\langle{p},{q}\right\rangle}\:={\int_{{a}}^{{b}}}{p}{\left({x}\right)}\cdot{q}{\left({x}\right)}\ \text{ d}{x} \).

Ovviamente i due approcci portano a diverse concezioni di ortogonalità e tutto il resto... E tra le due diverse opzioni non c'è alcun legame: basti pensare che \( \displaystyle {x},{{x}}^{{2}} \) sono ortogonali rispetto al prodotto scalare (a), ma non ortogonali rispetto al prodotto scalare (b) con \( \displaystyle {\left[{a},{b}\right]}={\left[{0},{1}\right]} \); analogamente i polinomi di Legendre d'ordine \( \displaystyle {0} \) e \( \displaystyle {2} \), ossia:

\( \displaystyle {p}_{{0}}{\left({x}\right)}={1},{p}_{{2}}{\left({x}\right)}=\frac{{1}}{{2}}{\left({3}{{x}}^{{2}}-{1}\right)} \)

sono ortogonali rispetto al prodotto (b) con \( \displaystyle {\left[{a},{b}\right]}={\left[-{1},{1}\right]} \) ma non ortogonali rispetto al prodotto (a).

[NightKnight]

esattamente: quindi "per gli algebristi" lo spazio dei polinomi di grado al più 2 \( \displaystyle \mathbb{R}{\left[{X}\right]}_{{\leq{2}}} \) si pensa identificato con lo spazio euclideo \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \).

[rubik]

Intendo che il prodotto scalare di due vettori nello spazio euclideo produce un numero reale che è la misura della proiezione di un vettore sull'altro (se uno dei due vettori è un versore).

questo secondo me è vero in \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \) o \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{2}} \) dove abbiamo una nozione "naturale" di proiezione, per spazi di dimensione euclidei di dimensione più alta (o spazi più esotici) la cosa che dici te è vera per definizione.

come dice Gugo dati diversi prodotti scalari avrai divese relazioni ortogonalità, diverse "proiezioni" e così via.

spero di non aver espresso un concetto troppo vago

[Camillo]

Intendo che il prodotto scalare di due vettori nello spazio euclideo produce un numero reale che è la misura della proiezione di un vettore sull'altro (se uno dei due vettori è un versore).

questo secondo me è vero in \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \) o \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{2}} \) dove abbiamo una nozione "naturale" di proiezione, per spazi di dimensione euclidei di dimensione più alta (o spazi più esotici) la cosa che dici te è vera per definizione.

come dice Gugo dati diversi prodotti scalari avrai divese relazioni ortogonalità, diverse "proiezioni" e così via.

spero di non aver espresso un concetto troppo vago

No no non è vago .
Non so perchè ma mi è chiaro e spontaneo il concetto del prodotto scalare di 2 funzioni continue , \( \displaystyle {f} \), \( \displaystyle {g} \) in un certo intervallo \( \displaystyle {\left[{a},{b}\right]} \) inteso come \( \displaystyle {\int_{{a}}^{{b}}}{f{.}}{g{{\left.{d}{x}\right.}}} \) , invece coi polinomi (che sono pur sempre funzioni ) mi suona "strano".
Ho perso un colpo, succede
Grazie a tutti gli intervenuti per le precisazioni.