Prodotto semidiretto di gruppi

[LLLorenzzz]

Ciao a tutti!

Leggo sulla wiki che in generale il prodotto semidiretto tra due gruppi non abeliani non è univocamente definito, neppure a meno di isomorfismo (pagina della wiki inglese, sezione elementary facts anc caveats). Mi pare che una condizione sufficiente per avere l'unicità del prodotto semidiretto $B= A \times C$ (scusate ma non riesco a scrivere il comando \ltimes) sia che la successione esatta $1 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 1$ ammetta uno split sinistro (in questo caso si ha proprio un prodotto diretto di gruppi). Tuttavia nei casi con cui mi trovo a dover lavorare questa condizione non mi è utile. Vorrei sapere se ci sono altre condizioni per avere una buona definizione di prodotto semidiretto.

Il caso tipico in cui trovo queste difficoltà è questo: ho due gruppi non abeliani $A$ e $B$ e la successione esatta
$ 1 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow \mathbf{Z}_{2} \rightarrow 1 $
e so che c'è sempre uno split destro. Vorrei poter dire che $B$ è IL prodotto semidiretto di $A$ e $\mathbf{Z}_{2}$, in modo che questo abbia senso, cioè che sia univocamente definito.

Grazie, ciao!

[j18eos]

Ciao a tutti!...

Cia0 LLLorenzz.

...scusate ma non riesco a scrivere il comando \ltimes...

Il comando corretto è \$\ltimes\$ tra i tag del codice LaTeX (clicca su anteprima e potrai gestire meglio le formattazione del testo).

...Leggo sulla wiki che in generale il prodotto semidiretto tra due gruppi non abeliani non è univocamente definito, neppure a meno di isomorfismo (pagina della wiki inglese, sezione elementary facts anc caveats). Mi pare che una condizione sufficiente per avere l'unicità del prodotto semidiretto $B= A \times C$... sia che la successione esatta $1 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 1$ ammetta uno split sinistro (in questo caso si ha proprio un prodotto diretto di gruppi)...

Ma che definizione di prodotto semidiretto usi?
Per come mi è stato presentato, le sequenze esatte corte "disegnano" il prodotto semidiretto tra gruppi; senza dimenticare che tali servono anche per altre costruzioni (come le estensioni di gruppi).

...Il caso tipico in cui trovo queste difficoltà è questo: ho due gruppi non abeliani $A$ e $B$ e la successione esatta
$ 1 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow \mathbf{Z}_{2} \rightarrow 1 $
e so che c'è sempre uno split destro. Vorrei poter dire che $B$ è IL prodotto semidiretto di $A$ e $\mathbf{Z}_{2}$, in modo che questo abbia senso, cioè che sia univocamente definito...

Insomma, vorresti costruire ad esempio i gruppi diedrali su gruppi abeliani.

...Grazie, ciao!

Prego di nulla!

[LLLorenzzz]

Ok grazie per i consigli!
Boh una definizione vale l'altra, è una cosa che ho appena cominciato a studiare...stavo leggendo certe costruzioni di topologia geometrica e venivano fuori questi prodotti semidiretti proprio tramite le successioni esatte e lo splitting lemma. Essendo un argomento che non conoscevo e che non trovavo ben presentato nei miei libri di algebra, ho guardato sulla wiki ( http://en.wikipedia.org/wiki/Semidirect_product ), quindi una qualunque di quelle definizioni mi sta bene. E appunto la prima grana che mi sono trovato davanti è il problema della'univocità della definizione, che mi dà un po' fastidio...
Più precisamente quello che sto studiando è il gruppo degli auto-omeomorfismi di una superficie (topologica reale). Mi farebbe comodo avere condizioni per l'unicità del prodotto semidiretto perché questo mi permetterebbe di considerare solo il sottogruppo degli omeomorfismi che rispettano l'orientazione della superficie, e di ottenere tutto il gruppo come prodotto semidiretto di questo sottogruppo con $\mathbf{Z}_{2}$ . E si dà appunto il caso che le cose siano "governate" da una sequenza esatta come quella che ho scritto. Non so se questo c'entra con i gruppi diedrali su gruppi abeliani...ad essere onesto non so neanche cosa siano...di gruppi diedrali mi hanno parlato solo ad algebra1 come gruppi di simmetria dei poligoni, non so se è la stessa cosa...

[j18eos]

Per capire cos'è il prodotto semidiretto tra gruppi, ti rimando a questa sottosezione della pagina da te letta.

È inutile che ti scriva io cosa sia il prodotto semidiretto tra gruppi, così capirai che il prodotto semidiretto tra gruppi generici è ben definito a meno d'isomorfismi, cioè: dati due gruppi od altri ad essi isomorfi il prodotto semidiretto è ben definito, ma dato un gruppo che è prodotto semidiretto di dati gruppi può essere prodotto semidiretto di gruppi ad essi non isomorfi!

E.G.: \( \displaystyle \mathrm{Alt}4\rtimes\mathbb{Z}_2=\mathrm{Sym}4=\mathrm{V}_4\rtimes\mathrm{Sym}3 \)

P.S.: Il tuo ricordo sui gruppi diedrali (finiti) è corretto.

[LLLorenzzz]

dati due gruppi od altri ad essi isomorfi il prodotto semidiretto è ben definito, ma dato un gruppo che è prodotto semidiretto di dati gruppi può essere prodotto semidiretto di gruppi ad essi non isomorfi!

E.G.: \( \displaystyle \mathrm{Alt}4\rtimes\mathbb{Z}_2=\mathrm{Sym}4=\mathrm{V}_4\rtimes\mathrm{Sym}3 \)

ooook ecco svelato l'arcano! questo mi chiarisce molto bene la cosa! Quindi: se ho due gruppi $H$ e $N$, allora il loro prodotto semidiretto è unico a meno di isomorfismi se ho scelto anche un mappa$ \varphi : H \rightarrow Aut(N)$. E' corretto?

Mi aveva messo in confusione questa frase: "Note that, as opposed to the case with the direct product, a semidirect product of two groups is not, in general, unique; if G and G′ are two groups which both contain isomorphic copies of N as a normal subgroup and H as a subgroup, and both are a semidirect product of N and H, then it does not follow that G and G′ are isomorphic.". Il problema qui è che non è specificata la mappa $\varphi : H \rightarrow Aut(N)$. Giusto? Ho l'unicità se specifico tutta la terna $N,H, \varphi$.

grazie ancora!

[Martino]

Il problema qui è che non è specificata la mappa $\varphi : H \rightarrow Aut(N)$. Giusto? Ho l'unicità se specifico tutta la terna $N,H, \varphi$.

Giusto. Per esempio \( \displaystyle A_n \rtimes C_2 \) è \( \displaystyle S_n \) se mandi il generatore di \( \displaystyle C_2 \) in una trasposizione, è \( \displaystyle A_n \times C_2 \) se mandi il generatore di \( \displaystyle C_2 \) in \( \displaystyle 1 \) . E ovviamente \( \displaystyle S_n \not \cong A_n \times C_2 \) .

[j18eos]

In effetti, nell'esempio (la prima parte) l'azione gruppale (quella che chiami \( \displaystyle \varphi \) ) non l'ho specificata dato che ci sono due possibilità (come ha specificato Martino), in cui da una di esse si ottiene il prodotto diretto di gruppi e quindi non valeva la pena sottolinearla; nel secondo caso riesci a determinare l'azione gruppale, sapendo che \( \displaystyle \mathrm{Aut}(V_4)=\mathrm{S}_3 \) ?

[LLLorenzzz]

@j18eos
spero di non sbagliare...direi che $S_{3}$ agisce su $V_{4}$ per coniugio, cioè a una $\sigma \in S_{3}$ si associa l'automorfismo di $V_{4}$ dato da $\sigma v \sigma^{-1}, \forall v \in V_{4}$. è corretto?

adesso che mi è chiaro il fatto che c'è una forte dipendenza dalla mappa tra i due gruppi, mi viene spontaneo chiedervi se c'è un modo per inquadrare la costruzione del prodotto semidiretto in termini categoriali, magari come oggetto universale in qualche senso, in qualche categoria costruita su quella dei gruppi non abeliani.

[j18eos]

Giusto!

Per la tua domanda prova a guardare la dispensa che ho segnalato qui (click) oppure sul Robinson (click)!

[LLLorenzzz]

ok grazie mille per l'aiuto!
buon lunedì