Proiezione di un punto su un sottospazio

[qqqqq]

Ciao,
ho bisogno di aiuto!!
spero di essere nel posto giusto
Non riesco a risolvere il seguente problema:
Si trovi la proiezione ortogonale del puntp P=(1,2,3)
sul sottospazio di R3 di equazioni
x+y+z=0
x-y+z=0
Ho provato a spataccare con ker im etc ma non ne vengo a capo
Qualcuno sa come si fa?
Grazie e mille in anticipo
p.s. ho l'esame tra due giorni!!

[qqqqq]

visto che nessuno si degna vi dico come l'ho pensata e spero saprete dirmi se ci può stare o no
Poneno A = 1 1 1 rappresentazione cartesiana del Ker A e rango di A =2 segue che la dimensione del Ker è n-rango(A)=1 (dove n è il numero di colonne di A)
1 -1 1

Quindi posso trovare una base, w1 ad esempio (1,0,-1)/sqrt(2)
e fare la proiezione <(1,0,-1),(1,2,3)>(1,0,-1)= (-1,0,1)
ke infatti se la sostituisco in W lo pone uguale a zero.

Ha senso secondo voi ?
ora credo di aver dimostrato che non sto qui per sfruttarvi ma ho solo bisogno di conferme

[Sergio]

Benvenuto nel forum, ma... abbi pazienza un attimo.

visto che nessuno si degna [...] non sto qui per sfruttarvi ma ho solo bisogno di conferme

Questo forum «non è un servizio di consulenza per lo svolgimento di esercizi e problemi» (regolamento, regola 1.2). E' invece «uno spazio pubblico e gratuito per lo scambio di opinioni, esperienze, informazioni utili, consigli, aiuti reciproci» (regola 1.1).
Ne segue che «il forum è frequentato e animato da appassionati che non hanno nessun obbligo di risposta», anche perché potrebbero avere anche altre cose da fare, come ad esempio preparare i propri esami; quindi sono da «evitare sollecitazioni del tipo "up" per almeno 24 ore dalla domanda posta» (regola 3.4).
Non fa piacere dare una mano a qualcuno che pone un quesito a mezzanotte e insiste dopo due ore usando certi toni («nessuno si degna» e simili), come se si fosse obbligati a rispondere tempestivamente a qualsiasi richiesta invece di... dormire, come è piuttosto normale in certi orari.
Ciò premesso....

Hai le equazioni di un sottospazio di \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \), che sono le equazioni di una retta \( \displaystyle {r} \). Risolvendo il sistema costituito dalle due equazioni, si ottiene che il vettore direttore della retta è \( \displaystyle {v}={{\left({1},{0},-{1}\right)}}^{{T}} \).
Per ottenere la proiezione ortogonale di \( \displaystyle {P}={\left({1},{2},{3}\right)} \) sulla retta \( \displaystyle {r} \), basta trovare l'intersezione tra \( \displaystyle {r} \) e un piano \( \displaystyle \pi \) che sia ortogonale alla retta (quindi al suo vettore direttore) e passi per \( \displaystyle {P} \).
Un piano ortogonale a \( \displaystyle {r} \) ha un'equazione i cui coefficienti sono gli elementi del vettore direttore di \( \displaystyle {r} \), quindi: \( \displaystyle {x}-{z}={d} \).
Per ottenere il piano \( \displaystyle \pi \) che passa per \( \displaystyle {P} \), basta trovare \( \displaystyle {d} \) mettendo nell'equazione gli elementi di \( \displaystyle {P} \), quindi \( \displaystyle {1} \) per \( \displaystyle {x} \) e \( \displaystyle {3} \) per \( \displaystyle {z} \). Si ottiene:
\( \displaystyle {1}-{3}={d} \), \( \displaystyle {d}=-{2} \), \( \displaystyle \pi:{x}-{z}=-{2} \)
Per trovare ora la proiezione di \( \displaystyle {P} \) su \( \displaystyle {r} \) basta risolvere il sistema di 3 equazioni:
\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{\left\lbrace\matrix{{x}+{y}+{z}={0}\\{x}-{y}+{z}={0}}\right.}\\{x}-{z}=-{2}}\right.} \)

[dissonance]

visto che nessuno si degna

Ciao. Ti consiglio di cambiare atteggiamento, così non otterrai molto da questo forum. Qui nessuno è obbligato ad aiutare nessuno, se si discute insieme lo si fa per piacere e per crescita reciproca. Ponendoti così mostri di non avere chiaro questo concetto, ti senti in dovere di essere aiutato e un utente del forum lo percepisce e si allontana.

Aggiungiamo poi un motivo contingente: dalle 00.30 alle 02.30 quanti utenti vuoi che bazzichino il forum? E quanti di questi vuoi che siano lì disponibili a correggerti l'esercizio?

Detto questo, provo a darti un aiuto: della tua risoluzione non capisco granché ma intuisco che l'idea è giusta. Io farei così: risolvendo le equazioni cartesiane di \( \displaystyle {W} \) ne troverei una base; poi usando l'algoritmo di Gram-Schmidt ne troverei una base ortonormale. Detta \( \displaystyle {b}_{{1}} \) questa base ortonormale (il sottospazio \( \displaystyle {W} \) è una retta, usa il teorema di Rouché-Capelli per convincertene), la funzione proiezione ortogonale su \( \displaystyle {W} \) è la

\( \displaystyle {p}_{{W}}{\left({x}\right)}={\leftlangle{x},{b}_{{1}}\rightrangle}{b}_{{1}} \);

la soluzione del problema è \( \displaystyle {p}_{{W}}{\left({P}\right)} \).

[EDIT]Scrivevo in contemporanea a Sergio. Interessante notare come i due post siano sostanzialmente equivalenti!

[qqqqq]

Ciao ragazzi,
innanzitutto mi scuso per l'irruenza

ero alle prese con un esercizio che continuava a non venirmi ed ero un po nervoso........
scusate ancora la prosssima volta provero a cercare un forum tipo laueandi skizzati delle 2 di notte ...
A parte gli scherzi avete ragione non è il giusto atteggiamento
grazie per le risposte che mi hanno chiarito un po le idee,
anche se non mi è chiaro cosa sia un vettore direttore forse io l'ho sempre chiamato in un altro modo,

La prossima volta vedro di essere più paziente
Grazie ancora!!!