Proiezione ortogonale di un punto su una retta.

[TSUNAMI]

Dato il punto \( \displaystyle {A}{\left({2},{2},{1}\right)} \) e la retta \( \displaystyle {r}={\left\lbrace\matrix{{4}{x}+{y}-{z}={2}\\{3}{x}-{z}-{3}={0}}\right.} \) cioè data come intersezione di due piani:
- trovare la proiezione ortogonale \( \displaystyle {M} \) di \( \displaystyle {A} \) su \( \displaystyle {r} \);
- trovare il simmetrico \( \displaystyle {A}' \) di \( \displaystyle {A} \) su \( \displaystyle {r} \);
- trovare la distanza fra il punto \( \displaystyle {A} \) e la retta \( \displaystyle {r} \).

ho fatto un esercizio analogo con un piano al posto della retta e non ho avuto problemi. Con la retta non riesco bene a comportarmi, non so se prendere indistintamente una delle due norme di uno dei due piani oppure altro...

grazie a tutti!

[franced]

Dato il punto \( \displaystyle {A}{\left({2},{2},{1}\right)} \) e la retta \( \displaystyle {r}={\left\lbrace\matrix{{4}{x}+{y}-{z}={2}\\{3}{x}-{z}-{3}={0}}\right.} \) cioè data come intersezione di due piani:
- trovare la proiezione ortogonale \( \displaystyle {M} \) di \( \displaystyle {A} \) su \( \displaystyle {r} \);
- trovare il simmetrico \( \displaystyle {A}' \) di \( \displaystyle {A} \) su \( \displaystyle {r} \);
- trovare la distanza fra il punto \( \displaystyle {A} \) e la retta \( \displaystyle {r} \).

Prendi il piano \( \displaystyle \pi \) passante per \( \displaystyle {A} \) e ortogonale alla retta \( \displaystyle {r} \) e trova l'intersezione \( \displaystyle {M}=\pi\cap{r} \) .

[TSUNAMI]

perfetto, ho messo a sistema il piano che contiene il punto \( \displaystyle {A} \) e perpendicolare alla retta \( \displaystyle {r} \) con la stessa retta e ho trovato il punto \( \displaystyle {M}{\left({1},-{2},{0}\right)} \)

come faccio ora a trovare il simmetrico \( \displaystyle {A}' \) rispetto a \( \displaystyle {A} \)?

grazie mille per l'aiuto.

[Camillo]

Considera che \( \displaystyle {M} \) è il punto medio del segmento \( \displaystyle {A}{A}' \) e quindi :
\( \displaystyle {x}_{{M}}=\frac{{{x}_{{A}}+{x}_{{{A}'}}}}{{2}} \)
\( \displaystyle {y}_{{M}}=\ldots. \)
\( \displaystyle {z}_{{M}}=\ldots. \)

[franced]

Un altro metodo alternativo per trovare la proiezione di un punto \( \displaystyle {P} \) su una retta \( \displaystyle {r} \) è il seguente:

ti parametrizzi la retta \( \displaystyle {r} \) e cerchi il punto \( \displaystyle {Q} \) sulla retta \( \displaystyle {r} \) in modo tale che

\( \displaystyle {\left({O}{P}-{O}{Q}\right)}\cdot{v}={0} \)

dove \( \displaystyle {v} \) è il vettore direttore di \( \displaystyle {r} \).

[TSUNAMI]

Un altro metodo alternativo per trovare la proiezione di un punto \( \displaystyle {P} \) su una retta \( \displaystyle {r} \) è il seguente:

ti parametrizzi la retta \( \displaystyle {r} \) e cerchi il punto \( \displaystyle {Q} \) sulla retta \( \displaystyle {r} \) in modo tale che

\( \displaystyle {\left({O}{P}-{O}{Q}\right)}\cdot{v}={0} \)

dove \( \displaystyle {v} \) è il vettore direttore di \( \displaystyle {r} \).

perfetto, grazie mille

[franced]

Un altro metodo alternativo per trovare la proiezione di un punto \( \displaystyle {P} \) su una retta \( \displaystyle {r} \) è il seguente:

ti parametrizzi la retta \( \displaystyle {r} \) e cerchi il punto \( \displaystyle {Q} \) sulla retta \( \displaystyle {r} \) in modo tale che

\( \displaystyle {\left({O}{P}-{O}{Q}\right)}\cdot{v}={0} \)

dove \( \displaystyle {v} \) è il vettore direttore di \( \displaystyle {r} \).

perfetto, grazie mille

Prego.