proiezione ortogonale- spazi vettoriali euclidei

[zoso89]

salve a tutti, ho trovato questo esercizio in un tema d'esame:

Nello spazio \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{4}} \), reso euclideo col prodotto scalare standard, sono dati il sottospazio \( \displaystyle {U} \) \( \displaystyle = \) \( \displaystyle {\left\lbrace{\left({x}{1};{x}{2};{x}{3};{x}{4}\right)}\right.} \) \( \displaystyle \in \)
\( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{4}} \)\( \displaystyle {\mid}{x}_{{1}}+{x}_{{2}}={x}_{{3}}-{x}_{{4}}={0} \)\( \displaystyle \rbrace \) e il vettore \( \displaystyle {v} \) \( \displaystyle ={\left({0};{1};{0};{2}\right)} \). Determinare il vettore \( \displaystyle {u} \) del sottospazio \( \displaystyle {U} \) che ha da \( \displaystyle {v} \)
distanza minima (cioè tale che \( \displaystyle {\left|{\left|{u}-{v}\right|}\right|} \) sia minima).

Ho provato a risolverlo facendo la proiezione ortogonale di un vettore generico sul vettore \( \displaystyle {v} \) ma non so se è corretto.
sapreste aiutarmi?
Grazie in anticipo!!!

[franced]

Il problema può essere risolto in più modi:
uno di questi è il metodo del sistema normale.

Ora devo uscire, quando torno scrivo un messaggio con la soluzione completa.
Ciao!

[zoso89]

Ok grazie, gentilissimo!
Buona serata!!

[franced]

Nello spazio \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{4}} \), reso euclideo col prodotto scalare standard, sono dati il sottospazio \( \displaystyle {U} \) \( \displaystyle = \) \( \displaystyle {\left\lbrace{\left({x}{1};{x}{2};{x}{3};{x}{4}\right)}\right.} \) \( \displaystyle \in \)
\( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{4}} \)\( \displaystyle {\mid}{x}_{{1}}+{x}_{{2}}={x}_{{3}}-{x}_{{4}}={0} \)\( \displaystyle \rbrace \) e il vettore \( \displaystyle {v} \) \( \displaystyle ={\left({0};{1};{0};{2}\right)} \). Determinare il vettore \( \displaystyle {u} \) del sottospazio \( \displaystyle {U} \) che ha da \( \displaystyle {v} \)
distanza minima (cioè tale che \( \displaystyle {\left|{\left|{u}-{v}\right|}\right|} \) sia minima).

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Primo metodo.

Prendiamo una base per \( \displaystyle {U} \):

\( \displaystyle {\left(\matrix{{1}\\-{1}\\{0}\\{0}}\right)} \) ; \( \displaystyle {\left(\matrix{{0}\\{0}\\{1}\\{1}}\right)} \)

cerchiamo una combinazione lineare

\( \displaystyle {u}=\lambda_{{1}}{\left(\matrix{{1}\\-{1}\\{0}\\{0}}\right)}+\lambda_{{2}}{\left(\matrix{{0}\\{0}\\{1}\\{1}}\right)} \)

in modo tale che \( \displaystyle {u} \) abbia distanza minima da \( \displaystyle {v}={\left(\matrix{{0}\\{1}\\{0}\\{2}}\right)} \).

Il sistema normale è il seguente:

\( \displaystyle {{\left(\matrix{{1}&{0}\\-{1}&{0}\\{0}&{1}\\{0}&{1}}\right)}}^{{T}}{\left(\matrix{{1}&{0}\\-{1}&{0}\\{0}&{1}\\{0}&{1}}\right)}{\left(\matrix{\lambda_{{1}}\\\lambda_{{2}}}\right)}={{\left(\matrix{{1}&{0}\\-{1}&{0}\\{0}&{1}\\{0}&{1}}\right)}}^{{T}}{\left(\matrix{{0}\\{1}\\{0}\\{2}}\right)} \)

e quindi

\( \displaystyle {\left(\matrix{{2}&{0}\\{0}&{2}}\right)}{\left(\matrix{\lambda_{{1}}\\\lambda_{{2}}}\right)}={\left(\matrix{-{1}\\{2}}\right)} \)

da cui

\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{\lambda_{{1}}=-\frac{{1}}{{2}}\\\lambda_{{2}}={1}}\right.} \) ;

in definitiva il vettore \( \displaystyle {u} \) è il seguente:

\( \displaystyle {u}=-\frac{{1}}{{2}}\cdot{\left(\matrix{{1}\\-{1}\\{0}\\{0}}\right)}+{1}\cdot{\left(\matrix{{0}\\{0}\\{1}\\{1}}\right)}={\left(\matrix{-\frac{{1}}{{2}}\\\frac{{1}}{{2}}\\{1}\\{1}}\right)} \) .




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Secondo metodo (analogo al metodo che ho esposto qualche giorno fa, se ti ricordi..):

scelgo questa base di \( \displaystyle {{R}}^{{4}} \):

\( \displaystyle {\left(\matrix{{1}\\-{1}\\{0}\\{0}}\right)} \) ; \( \displaystyle {\left(\matrix{{0}\\{0}\\{1}\\{1}}\right)} \) ; \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}\\{1}\\{0}\\{0}}\right)} \) ; \( \displaystyle {\left(\matrix{{0}\\{0}\\{1}\\-{1}}\right)} \)

(si tratta di una base di vettori ortogonali) e scrivo il vettore \( \displaystyle {v} \) come combinazione
lineare:

\( \displaystyle {v}={x}_{{1}}{\left(\matrix{{1}\\-{1}\\{0}\\{0}}\right)}+{x}_{{2}}{\left(\matrix{{0}\\{0}\\{1}\\{1}}\right)}+{x}_{{3}}{\left(\matrix{{1}\\{1}\\{0}\\{0}}\right)}+{x}_{{4}}{\left(\matrix{{0}\\{0}\\{1}\\-{1}}\right)} \)

si trovano i risultati

\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}_{{1}}=-\frac{{1}}{{2}}\\{x}_{{2}}={1}\\{x}_{{3}}=\frac{{1}}{{2}}\\{x}_{{4}}=-{1}}\right.} \)

a questo punto il vettore proiezione \( \displaystyle {u} \) si ottiene in questo modo (si trascurano \( \displaystyle {x}_{{3}} \) e \( \displaystyle {x}_{{4}} \)):

\( \displaystyle {u}={x}_{{1}}{\left(\matrix{{1}\\-{1}\\{0}\\{0}}\right)}+{x}_{{2}}{\left(\matrix{{0}\\{0}\\{1}\\{1}}\right)}=-\frac{{1}}{{2}}\cdot{\left(\matrix{{1}\\-{1}\\{0}\\{0}}\right)}+{1}\cdot{\left(\matrix{{0}\\{0}\\{1}\\{1}}\right)}={\left(\matrix{-\frac{{1}}{{2}}\\\frac{{1}}{{2}}\\{1}\\{1}}\right)} \) .




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Terzo metodo.

Scrivo il vettore \( \displaystyle {u} \)

\( \displaystyle {u}=\lambda_{{1}}{\left(\matrix{{1}\\-{1}\\{0}\\{0}}\right)}+\lambda_{{2}}{\left(\matrix{{0}\\{0}\\{1}\\{1}}\right)} \)

e scrivo la distanza dal vettore \( \displaystyle {v} \):

\( \displaystyle {{\left|{\left|{u}-{v}\right|}\right|}}^{{2}}={{\left(\lambda{1}-{0}\right)}}^{{2}}+{{\left(-\lambda{1}-{1}\right)}}^{{2}}+{{\left(\lambda{2}-{0}\right)}}^{{2}}+{{\left(\lambda{2}-{2}\right)}}^{{2}} \)

e trovo il punto di minimo: si trovano gli stessi risultati:

\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{\lambda_{{1}}=-\frac{{1}}{{2}}\\\lambda_{{2}}={1}}\right.} \) .

[zoso89]

ok ho capito grazie mille

[franced]

ok ho capito grazie mille

Prego.

Per curiosità, quale metodo preferisci?

[zoso89]

Il secondo metodo.

[TSUNAMI]

Dato il punto \( \displaystyle {A}{\left({2},{2},{1}\right)} \) e la retta \( \displaystyle {r}={\left\lbrace\matrix{{4}{x}+{y}-{z}={2}\\{3}{x}-{z}-{3}={0}}\right.} \) cioè data come intersezione di due piani:
- trovare la proiezione ortogonale \( \displaystyle {M} \) di \( \displaystyle {A} \) su \( \displaystyle {r} \);
- trovare il simmetrico \( \displaystyle {A}' \) di \( \displaystyle {A} \) su \( \displaystyle {r} \);
- trovare la distanza fra il punto \( \displaystyle {A} \) e la retta \( \displaystyle {r} \).

ho fatto un esercizio analogo con un piano al posto della retta e non ho avuto problemi. Con la retta non riesco bene a comportarmi, non so se prendere indistintamente una delle due norme di uno dei due piani oppure altro...

grazie a tutti!

[franced]

Scusami, ma perché non apri un nuovo messaggio?

[TSUNAMI]

Scusami, ma perché non apri un nuovo messaggio?

hai ragione, chiedo scusa.