Proprietà ottica dell'ellisse

Messaggioda G.D. » 21/07/2008, 03:40

Quanto segue viene direttamente dal testo "Le Olimpiadi della Matematica" della Zanichelli.

Iniziamo col dimostrare la seguente proprietà ottica dell'ellisse. Per ogni punto $P$ di una ellisse di fuochi $F_1 , F_2$ la retta tangente in $P$ forma angoli uguali con i segmenti $F_1 P$ e $F_2P$.

Immagine
Sia infatti $b$ la bisettrice di $\hat{F_1 P F_2}$ e sia $t$ la sua perpendicolare in $P$. Se $t$ avesse un ulteriore intersezione $Q$ con l'ellisse si consideri il simmetrico $F'$ di $F_2$ rispetto a $t$; poiché i due triangoli $PF_2 Q$, $PF' Q$ hanno i tre lati uguali (la retta $t$ è asse di $F_2 F'$) essi sono uguali e quindi $\hat{QPF'}=\hat{QPF_2}$, il quale per ipotesi è uguale a $\hat{F_1 P t}$. Ne segue che i punti $F_1, P, F'$ sono allineati e quindi per la disuguaglianza triangolare si avrebbe
$F_1 Q + QF_2 = F_1Q + QF' > F_1 P + PF'= F_1 P + PF_2$
mentre, essendo $P$ e $Q$ punti dell'ellisse, si ha

$F_1 Q + QF_2 = F_1 P + PF_2$.

Abbiamo così provato che la retta $t$ ha un unico punto in comune con l'ellisse, quindi ne è la tangente in $P$ ed essa forma angoli uguali con le rette che congiungono $P$ con i fuochi


Quello che non mi convince è la frase segnata in grasseto: il testo parte che vuole provare l'implicazione "retta tangente => angoli uguali", ma nello sviluppo della dimostrazione prova il contrario, cioè "angoli uguali => retta tangente", infatti nega che $t$ sia tangente supponendo l'esistenza della seconda intersezione $Q$ e afferma per ipotesi l'uguaglianza tra gli angoli (parte in corsivo nella citazione). Quindi io mi domando: dov'è che ha dimostrato che "retta tangente => angoli uguali", tanto da sparalo alla fine della dimostrazione? O sono io che non ho capito na mazza?

Grazie
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Messaggioda DavideV » 21/07/2008, 09:02

Vediamo se ho capito qualcosa...

...procedendo per assurdo ("se $t$ avesse...") ha dimostrato che la retta $t$ non può intersecare l'ellisse in due punti; la non negazione dell'ipotesi è quindi che la retta $t$ è perpendicolare alla bisettrice $b$. Essendo appunto bisettrice dell'angolo formato dalle congiunzioni dei due fuochi con il punto $P$, è evidente a questo punto che i due angoli sono uguali.
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Messaggioda G.D. » 21/07/2008, 10:54

Non ti seguo.
Comunque, anche Wikipedia parte che vuole provare "tangente in P => angoli uguali coi fuochi" e finisce col provare la cosa contraria ("angoli uguali coi fuochi => tangente in P"), e Wikipedia lo fa senza la bisettrice $b$.
Ma non è che la frase "Una tangente all'ellisse in un punto P forma angoli uguali con le rette che congiungono P con i due fuochi." significa l'implicazione "angoli uguali => tangente in P" e sono io che non ho capito niente?
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Messaggioda DavideV » 21/07/2008, 11:36

Dimostrare per assurdo vuol dire provare a dimostrare la negazione della tesi. In questo caso la tesi è che $t$ è tangente e che $b$ sia contemporaneamente bisettrice e perpendicolare a $t$: la negazione è che dunque esista un punto $Q$ per il quale $t$ intersechi l'ellisse. Capito l'inghippo? Non è che nega che $t$ sia tangente supponendo l'esistenza della seconda intersezione $Q$, ma sta provando a dimostrare il contrario, cioè che per assurdo esista questa intersezione. Se riesce a dimostrare che l'intersezione è impossibile, allora dimostra che $t$ è tangente e di conseguenza che l'ipotesi formulata ($b$ è sua perpendicolare) è coerente.
Come hai visto anche tu, la dimostrazione per assurdo prova che la tangente $t$ è perpendicolare alla semiretta $b$. Ok?

A questo punto, $hat{F_1 P b}$ è uguale a $hat{F_2 P b}$ e visto che $b$ è contemporaneamente bisettrice e perpendicolare, è lampante che i due angoli sono uguali.

Spero di averti aiutato!! :?
DavideV
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Messaggioda G.D. » 21/07/2008, 12:02

DavideV ha scritto:Come hai visto anche tu, la dimostrazione per assurdo prova che la tangente $t$ è perpendicolare alla semiretta $b$. Ok?


Eh, è quì che non siamo d'accordo: lui prova che la perpendicolare alla bisettrice è la tangente, non prova che la tangente è perpendicolare alla bisettrice.

All'inizio afferma "Per ogni punto $P$ di una ellisse di fuochi $F_1, F_2$ la retta tangente in $P$ forma angoli uguali con i segmenti $F_1 P$ e $F_2 P$".
Quando leggo una affermazione del genere mi viene da pensare che le ipotesi sono
Hp 1) si ha una ellisse
Hp 2) $F_1$, $F_2$ ne sono i fuochi
Hp 3) $P$ è un punto dell'ellisse
Hp 4) $t$ è la tangente all'ellisse in $P$
e la tesi è
Th) $\hat{F_1 PA} = \hat{F_2 PB}$, ove $A$ e $B$ appartengono a semirette diverse su $t$.

Poi però inizia la dimostrazione e si nega una delle ipotesi, cioè si nega la tangenza di $t$, e si assume come ipotesi la tesi (parte in corsivo nella mia citazione del mio primo post). Questa non mi sembra una dimostrazione per assurdo dell'affermazione iniziale: una dimostrazione di questo tipo avrebbe richiesto la negazione della tesi (non di una delle ipotesi) e il mantenimento delle ipotesi (non la sostituzione di una di queste con la tesi).

Quindi devo pensare che abbia dimostrato l'implicazione contaria, cioè che "se su una ellisse si prende un $P$ e per questo si conduce una retta che forma coi raggi focali angoli uguali, allora la retta è tangente". In una affermazione del genere le ipotesi sono:
Hp 1) si ha una ellisse
Hp 2) $F_1$, $F_2$ ne sono i fuochi
Hp 3) $P$ è un punto dell'ellisse
Hp 4) per $P$ si traccia una retta $t$
Hp 5) $\hat{F_1 PA} = \hat{F_2 PB}$, ove $A$ e $B$ appartengono a semirette diverse su $t$
e la tesi è:
Th) $t$ è tangente all'ellisse in $P$
Una dimostrazione per assurdo di questo si svolge proprio come fatto in quella citazione, e infatti alla fine della citazione afferma che "Abbiamo così provato che la retta $t$ ha un unico punto in comune con l'ellisse, quindi ne è la tangente in $P$". Ma poi, qin quella stessa citazione aggiunge di avere anche provato la congruenza tra gli angoli, mentre nel corso della prova l'ha assunta per ipotesi.

Al che tu mi replichi che poiché $b$ è la bisettrice, la conclusione è immediata. Però se la si mette così si è provato che la perpendicolare alla bisettrice è anche tangente, non che la tangente è perpendicolare alla bisettrice.
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Messaggioda DavideV » 21/07/2008, 12:14

...mi sa proprio che hai ragione! Avevo colpevolmente saltato la parte in corsivo, che effettivamente pone l'uguaglianza tra gli angoli come ipotesi.

La dimostrazione è infatti invertibile senza particolari dimostrazioni, se $t$ è perpendicolare a $b$, allora $b$ è perpendicolare a $t$.
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Messaggioda G.D. » 21/07/2008, 12:23

DavideV ha scritto:La dimostrazione è infatti invertibile senza particolari dimostrazioni, se $t$ è perpendicolare a $b$, allora $b$ è perpendicolare a $t$.


Non mi dire niente, ma non ti seguo...
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Messaggioda DavideV » 21/07/2008, 13:17

Se la perpendicolare alla bisettrice è tangente, la tangente è perpendicolare alla bisettrice... due rette perpendicolari tra loro, tutto qui...
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Messaggioda adaBTTLS » 21/07/2008, 13:45

[citazione]
Iniziamo col dimostrare la seguente proprietà ottica dell'ellisse. Per ogni punto P di una ellisse di fuochi F1 ed F2 la retta tangente in P forma angoli uguali con i segmenti F1P e F2P.

quello che hanno dimostrato è:
preso un generico punto P dell'ellisse, se esiste una retta (distinta dalla bistettrice di F1PF2) che forma angoli uguali con i segmenti F1P ed F2P, questa è tangente in P all'ellisse.
solo questo hanno dimostrato... però forse era troppo complicato procedere in maniera rigorosa a dimostrare la tesi, per cui si è proceduto in maniera "operativa"... non è del tutto sbagliato, ma la dimostrazione va completata.
abbiamo detto [cito me stessa] "se esiste una retta (distinta dalla bistettrice di F1PF2) che forma angoli uguali con i segmenti F1P ed F2P, questa è tangente in P all'ellisse".
in realtà una tale retta esiste ed è unica (questo è stato provato nel corso della dimostrazione), perché si tratta della perpendicolare alla bisettrice dell'angolo F1PF2.
a questo punto in maniera piuttosto occulta si è usato la proprietà dell'esistenza e unicità della tangente, concludendo che la tangente t in P è la perpendicolare alla bisettrice b, e dunque forma angoli uguali con i segmenti F1P e F2P...

che ne pensi? ciao.
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Messaggioda G.D. » 22/07/2008, 14:37

DavideV ha scritto:Se la perpendicolare alla bisettrice è tangente, la tangente è perpendicolare alla bisettrice... due rette perpendicolari tra loro, tutto qui...


Caspita, sono proprio un fenomeno, mi ero dimenticato anche di questa proprietà :lol:


adaBTTLS ha scritto:quello che hanno dimostrato è:
preso un generico punto P dell'ellisse, se esiste una retta (distinta dalla bistettrice di F1PF2) che forma angoli uguali con i segmenti F1P ed F2P, questa è tangente in P all'ellisse.
solo questo hanno dimostrato


Quindi mi confermi che hanno provato l'implicazione "Angoli uguali $=>$ Tangenza"...beh, direi che è un bene: nel mio rincoglionimento non mi sono rincoglionito del tutto :lol:


adaBTTLS ha scritto:... però forse era troppo complicato procedere in maniera rigorosa a dimostrare la tesi, per cui si è proceduto in maniera "operativa"... non è del tutto sbagliato, ma la dimostrazione va completata.
abbiamo detto [cito me stessa] "se esiste una retta (distinta dalla bistettrice di F1PF2) che forma angoli uguali con i segmenti F1P ed F2P, questa è tangente in P all'ellisse".
in realtà una tale retta esiste ed è unica (questo è stato provato nel corso della dimostrazione), perché si tratta della perpendicolare alla bisettrice dell'angolo F1PF2.
a questo punto in maniera piuttosto occulta si è usato la proprietà dell'esistenza e unicità della tangente, concludendo che la tangente t in P è la perpendicolare alla bisettrice b, e dunque forma angoli uguali con i segmenti F1P e F2P...

che ne pensi? ciao.


Penso che gli occultatori di prove dovrebbero essere perseguiti penalmente :-D ...no, va beh, a parte questa ultima battuta idiota, penso che le intenzioni dell'autore della prova fossero quelle.


Grazie di tutto a tutti.
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