Provare per induzione su n

[syxvicious]

Prima richiesta di aiuto, spero di comportarmi bene nel scrivere le formule...

Il mio problema è il seguente:

si provi per induzione su n che \( \displaystyle {{n}}^{{3}}-{n}+{6} \) è multiplo di 3


La base induttiva è ovvia, ma non riesco a dimostrarlo per n...

[WiZaRd]

Non devi dimostrarlo per \( \displaystyle n \) , ma per \( \displaystyle n+1 \) : supponi, cioè, che per un certo \( \displaystyle n \) si abbia \( \displaystyle 3 \mid n^{3}-n+6 \) e dimostra che da questo segue che anche per \( \displaystyle n+1 \) risulta \( \displaystyle 3 \mid (n+1)^{3} - (n+1) + 6 \) .

[misanino]

L'induzione funziona in questo modo.
Devi dimostrare che vale una certa cosa per n (ad esempio nel tuo caso devi mostrare che si ha \( \displaystyle {{n}}^{{3}}-{n}+{6} \) multiplo di 3).
Allora si mostra che vale per un certo numero fissato (in genere 0 o 1) e nel tuo caso vale per 0 ad esempio (\( \displaystyle {{0}}^{{3}}-{0}+{6}={6} \) che è multiplo di 3).
Poi si assume che sia valido per n e lo si dimostra per n+1 (cioè nel tuo caso assumi che \( \displaystyle {{n}}^{{3}}-{n}+{6} \) sia multiplo di 3 e devi dimostrare che anche \( \displaystyle {{\left({n}+{1}\right)}}^{{3}}-{\left({n}+{1}\right)}+{6} \) è multiplo di 3).
Si procede così:
\( \displaystyle {{\left({n}+{1}\right)}}^{{3}}-{\left({n}+{1}\right)}+{6}={{n}}^{{3}}+{1}+{3}{n}+{3}{{n}}^{{2}}-{n}-{1}+{6}={{n}}^{{3}}+{3}{{n}}^{{2}}+{3}{n}-{n}+{6}={3}{{n}}^{{2}}+{3}{n}+{\left({{n}}^{{3}}-{n}+{6}\right)} \).
Ma \( \displaystyle {{n}}^{{3}}-{n}+{6} \) è multiplo di 3 per ipotesi di induzione. Poi \( \displaystyle {3}{{n}}^{{2}} \) e \( \displaystyle {3}{n} \) sono ovviamente multipli di 3. Allora il tutto è multiplo di 3, cioè \( \displaystyle {{\left({n}+{1}\right)}}^{{3}}-{\left({n}+{1}\right)}+{6} \) è multiplo di 3 e hai concluso

[syxvicious]

Grazie mille della soluzione e della spiegazione... ora è tutto molto più chiaro!