Provare unicità endomorfismo

[educcio]

Sono dati i seguenti vettori di R4: u1 = (0, 1, 0, 1), u2 = (1, 1, 2, 1), u3 = (1, 0, 1, 0),u4 = (0, 0, 0, 1)

provare che esiste un solo endomorfismo f di R4 tale che

f(u1) = 2u1, f(u2) = u2, f(u3) = u2, f(u4) = u2

e trovare la matrice associata ad f rispetto alla base (u1, u2, u3, u4);

Come matrice io ho trovato

0 1 1 1
2 1 1 1
0 2 2 2
2 1 1 1

Che si può ridurre a

0 1 1 1
2 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

è giusto?
COME DIMOSTRO L'esistenza dell'endomorfismo?? e che è unico??

Grazie a tutti, ciao

[mistake89]

Basta mostrare che i vettori \( \displaystyle {u}_{{i}} \) sono base di \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{4}} \) ovvero linearmente indipendenti.

Mi faresti vedere come hai determinato la matrice? E sopratutto, qual è la definizione di matrice associata ad un'applicazione lineare?

[educcio]

Ok, innanzitutto grazie.

Dunque i vettori sono Lin IND .. quindi è unico l'endomorfismo! (giusto?)

Per trovare la matrice ho semplicemente scritto le vare f(U) in colonna. (di questo ne sono abb sicuro)

Ciao

[mistake89]

Giusto. Mi sapresti però dire perchè?

A me la matrice sembra sbagliata; ha sulle colonne le coordinate dei vettori \( \displaystyle {f{{\left({u}_{{i}}\right)}}} \) mentre a te ha le componenti dei singoli vettori... ricontrollala per bene!

[educcio]

aspetta colonna 1: F(u1) = 2 u1

quindi scrivo il vettore u1 moltiplicato per 2 = 0 2 0 2
e cosi via ....


Ti chiedo ancora una cosa ... per sapere se l'endomorfismo è semplice mi devo calcolare gli autovalori, quindi verificare che la loro molteplicita sia uguale alla dimv (ovvero a n-r(a-ki)

scusa se ti chiedo tutte queste cose ma ho dato oggi l'esame di geometria e domani ho l'orale ... e questo esercizio mi è un po ostico (credo di averlo fatto giusto ... ma nn si sa mai)

[mistake89]

No, rispetto alla base \( \displaystyle {u}_{{1}},{u}_{{2}},{u}_{{3}},{u}_{{4}} \) e sapendo che l'applicazione opera come hai descritto la matrice è \( \displaystyle {\left(\matrix{{2}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{1}&{1}\\{0}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}}\right)} \)...

[educcio]

scusa ma riducendo la mia non si ottiene la tua?

poi ... come hai fatto a determinarla allora perche mi sa che io sbaglio proprio il procedimento.

se u1 = 0,1,0,1 .. f(u1) = 0 2 0 2 ... direi

Grazie mille ciao

[mistake89]

ogni vettore è esprimibile come combinazione lineare dei vettori di ogni sua base. Fissata una base, tali combinazioni lineare sono uniche.

Noi abbiamo una base ed un'applicazione lineare e sappiamo che la colonna della nostra matrice prende questi scalari e li mette in colonna (detto in maniera pratica!), cioè fissata una base \( \displaystyle {u}_{{1}},{u}_{{2}},{u}_{{3}},{u}_{{4}} \) si ha che la \( \displaystyle {i} \)-esima colonna della matrice è data da \( \displaystyle {a},{b},{c},{d} \) tali che \( \displaystyle {F}{\left({u}_{{i}}\right)}={a}{u}_{{1}}+{b}{u}_{{2}}+{c}{u}_{{3}}+{d}{u}_{{4}} \)... è semplice ora capire il perché della mia matrice!

[educcio]

ok, grazie ho capito.

Quindi la prima colonna sarebbe 2U1 + 0u2 +0u3 +0u4 = 2 0 0 0

e le altre : 0u1 + 1u2 + 0u3 + 0u4 = 0 1 0 0

quindi

2 0 0 0
0 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0

Grazie mille. Speriamo il mio errore non sia così grave da rendere insufficente l'esame.