Punti dalla somma minima - SNS 1980

[elios]

"Sia \( \displaystyle {A}{O}{B} \) un angolo di \( \displaystyle {120}° \), \( \displaystyle {P} \) e \( \displaystyle {Q} \) punti ad esso interni. Trovare un punto \( \displaystyle {M} \) sulla semiretta \( \displaystyle {O}{A} \) e un punto \( \displaystyle {N} \) sulla semiretta \( \displaystyle {O}{B} \) tali che sia minima la somma \( \displaystyle {P}{M}+{M}{N}+{N}{Q} \)."

Io l'ho risolto provando a ricondurlo al problema di Eulero.
Traccio il simmetrico di \( \displaystyle {P} \) rispetto ad \( \displaystyle {A}{O} \) e il simmetrico di \( \displaystyle {Q} \) rispetto a \( \displaystyle {O}{B} \) e li chiamo \( \displaystyle {P}' \) e \( \displaystyle {Q}' \). Avrò due casi:
a) Se il segmento \( \displaystyle {P}'{Q}' \) interseca \( \displaystyle {A}{O}{B} \), allora i punti di intersezione sono gli \( \displaystyle {M} \) e \( \displaystyle {N} \) cercati. Infatti, \( \displaystyle {P}{M}+{M}{N}+{N}{Q}={P}'{M}+{M}{N}+{N}{Q}' \), che è una retta ed è quindi la distanza minore fra \( \displaystyle {P}' \) e \( \displaystyle {Q}' \).
b) Se il segmento \( \displaystyle {P}'{Q}' \) non interseca \( \displaystyle {A}{O}{B} \), allora unisco P' con Q e Q' con P e le intersezioni con \( \displaystyle {A}{O}{B} \) sono gli \( \displaystyle {M} \) e \( \displaystyle {N} \) cercati. Infatti, per il problema di Eulero, in questo modo sono minime le somme \( \displaystyle {P}{M}+{M}{Q}={P}'{M}+{M}{Q} \) e \( \displaystyle {Q}{N}+{P}{N}={Q}'{N}+{P}{N} \). Considerando che \( \displaystyle {P}{M}+{P}{N} \) e \( \displaystyle {Q}{N}+{Q}{M} \) sono le somme dei due lati oltre ad \( \displaystyle {M}{N} \) nei triangoli \( \displaystyle {P}{M}{N} \) e \( \displaystyle {Q}{M}{N} \), allora tutta la somma \( \displaystyle {P}{M}+{M}{N}+{N}{Q} \) sarà minima.

Sono molto incerta, perché come potete vedere non è una dimostrazione ma solo quello che mi sembra possibile.. In particolare ho dubbi sul secondo punto e mi chiedo a cosa serva la misura dell'angolo \( \displaystyle {A}{O}{B} \) (anche se dalla misura dell'angolo e dalla distanza dei punti dalle semirette dell'angolo posso calcolare i valori per cui capita il primo caso o il secondo caso).

Grazie dell'aiuto.

[giammaria]

Concordo nel ritenere inutile il dato dei 120°: forse è un depistaggio, o forse un indizio per una soluzione di tutt'altro tipo (che però non ho trovato), o forse ancora un larvato invito a specificare quando P'Q' incontra l'angolo (come supponi tu).

Per il resto, condivido la tua soluzione nel caso in cui P'Q' incontra l'angolo; se questo non succede penso però che la spezzata minima si abbia quando M e N coincidono con O. Il mio ragionamento, tutt'altro che rigoroso, è questo: una spezzata che congiunga P' con Q' ha lunghezza minima quando è il segmento P'Q' ed è tanto più lunga quanto più ce ne allontaniamo. Comunque si scelgano i punti M e N sulle due semirette, la spezzata P'MNQ' è esterna al triangolo P'OQ' e quindi più lunga della spezzata P'OQ'. Suppongo che questa affermazione sia dimostrabile, ma io non l'ho fatto.

Ancora un'osservazione: ho supposto (e credo l'abbia fatto anche tu) che i punti P e Q siano disposti in modo tale che, con M e N abbastanza vicini ad O, i segmenti PM e QN non si intersechino; se però scambi fra loro P e Q questo non avviene (a meno di scambiare anche M e N, ma mi pare che l'ipotesi lo vieti). Suppongo che anche in questo caso la risposta sia che M e N devono coincidere con O, ma non l'ho veramente esaminato.

puffff: quante supposizioni!

[elios]

Tutte le supposizioni che hai fatto tu le ho fatte anche io.. Avevo anche io il dubbio su \( \displaystyle {M} \) e \( \displaystyle {N} \) coincidenti in \( \displaystyle {O} \), sinceramente.. Probabilmente è più plausibile della mia soluzione..
Magari aspettiamo delucidazioni da qualcuno che non abbia più "supposizioni", ma "soluzioni"!

[giammaria]

Nessuno interviene quindi completo io, dimostrando la mia affermazione: “Se P'Q' non interseca l'angolo, la somma è minima quando M e N coincidono con O”. Mi limito al caso in cui Q'NMP' è un quadrilatero non intrecciato; le parentesi sono messe in modo da suggerire e giustificare il passaggio successivo.

Poiché O è interno al predetto quadrilatero, la prosecuzione di P'O oltre O incontra certo uno dei lati non uscenti da P'. Ci sono quindi due casi:
I caso: la prosecuzione incontra MN in R. Allora:
\( \displaystyle {s}{o}{m}{m}{a}={Q}'{N}+{N}{R}+{\left({R}{M}+{M}{P}'\right)}\gt{Q}'{N}+{N}{R}+{R}{P}'= \)
\( \displaystyle ={Q}'{N}+{\left({N}{R}+{R}{O}\right)}+{O}{P}'\gt{\left({Q}'{N}+{N}{O}\right)}+{O}{P}'\gt{Q}'{O}+{O}{P}' \)

II caso: la prosecuzione incontra Q'N in R. Allora:
\( \displaystyle {s}{o}{m}{m}{a}={Q}'{R}+{\left({R}{N}+{N}{M}\right)}+{M}{P}'\gt{Q}'{R}+{\left({R}{M}+{M}{P}'\right)}\gt \)
\( \displaystyle \gt{Q}'{R}+{R}{P}'={\left({Q}'{R}+{R}{O}\right)}+{O}{P}'\gt{Q}'{O}+{O}{P}' \)

Non ho scritto il “maggiore o uguale”, ma solo quando la tesi è già verificata possono essere tutte uguaglianze. Mi accorgo ora che non ho considerato il caso in cui la prosecuzione passa per N, ma dovrebbe essere facile farlo sulla falsariga dei casi precedenti.

[elios]

Bella e lineare.
Grazie.