Punti razionali - SNS 1987

[elios]

"Un punto \( \displaystyle {\left({x},{y}\right)} \) del piano cartesiano si dirà razionale se \( \displaystyle {x} \) e \( \displaystyle {y} \) sono numeri razionali.
Data una qualunque circonferenza del piano cartesiano avente centro razionale, si provi che se essa contiene un punto razionale, allora contiene infiniti punti razionali."

L'equazione trigonometrica della circonferenza è
\( \displaystyle {x}={r}{\cos{\alpha}}+{x}_{{0}} \)
\( \displaystyle {y}={r}{s}{e}{n}\alpha+{y}_{{0}} \)
dove \( \displaystyle {r} \) è il raggio e \( \displaystyle {C}{\left({x}_{{0}};{y}_{{0}}\right)} \) è il centro della circonferenza. Quindi per ipotesi \( \displaystyle {x}_{{0}} \) e \( \displaystyle {y}_{{0}} \) sono razionali. Sempre per ipotesi esiste almeno un \( \displaystyle \alpha \) per cui \( \displaystyle {x} \) e \( \displaystyle {y} \) è razionale.
Credo che la soluzione sia nel dimostrare che esistono infiniti \( \displaystyle \theta \) che hanno la stessa proprietà di \( \displaystyle \alpha \). Mi è venuto da pensare che abbiano il seno e il coseno multipli (con costante razionale) di \( \displaystyle \alpha \)..
Grazie dell'aiuto.

[giammaria]

L'idea è buona, ma se per esempio fosse \( \displaystyle \alpha={{45}}^{{o}} \) e \( \displaystyle {r}=\sqrt{{2}} \), già l'angolo doppio non va bene ; inoltre non trovi infiniti punti. Suggerirei di modificarla prendendo gli infiniti punti del tipo \( \displaystyle \alpha+{k}\beta \), dove \( \displaystyle \beta \) è un angolo con seno e coseno razionale, ad esempio l'\( \displaystyle {\arcsin{{\left(\frac{{3}}{{5}}\right)}}} \). Non ho provato a scrivere i calcoli, ma pensando al loro tipo dovrebbe andar bene.

[elios]

Sì dovrebbe andare. Ho provato a usare l'angolo senza moltiplicarlo per la costante \( \displaystyle {k} \) poiché complica il calcolo del seno e coseno. Cioè, sia \( \displaystyle \alpha \) un angolo tale che \( \displaystyle {x}={r}{\cos{\alpha}} \) e \( \displaystyle {y}={r}{s}{e}{n}\alpha \) siano razionali. Prendendo
\( \displaystyle \theta=\alpha+\beta \), e \( \displaystyle \beta={\arcsin{{\left(\frac{{p}}{{q}}\right)}}} \) con \( \displaystyle {p} \) e \( \displaystyle {q} \) interi tali che \( \displaystyle -{1}\le\frac{{p}}{{q}}\le{1} \), si ha che
\( \displaystyle {x}={r}{\cos{\theta}}={r}{\cos{{\left(\alpha+\beta\right)}}}={r}{\left({\cos{\alpha}}{\cos{\beta}}-{s}{e}{n}\alpha{s}{e}{n}\beta\right)}={\left({r}{\cos{\alpha}}\right)}\cdot{\cos{\beta}}-{\left({r}{s}{e}{n}\alpha\right)}\cdot{s}{e}{n}\beta \)
\( \displaystyle {y}={r}{s}{e}{n}\theta={r}{s}{e}{n}{\left(\alpha+\beta\right)}={r}{\left({s}{e}{n}\alpha{\cos{\beta}}+{\cos{\alpha}}{s}{e}{n}\beta\right)}={\left({r}{s}{e}{n}\alpha\right)}\cdot{\cos{\beta}}+{\left({r}{\cos{\alpha}}\right)}\cdot{s}{e}{n}\beta \)
dove ciò che ho messo fra parentesi è razionale per ipotesi e moltiplica due fattori razionali per la scelta di \( \displaystyle \beta \).
Angoli così definiti sono infiniti, al variare di \( \displaystyle {p} \) e \( \displaystyle {q} \).

Che ne dici?

[giammaria]

Nel complesso sono d'accordo, però se l'unica limitazione su p, q è quella che hai scritto il coseno potrebbe essere irrazionale. Per questo suggerivo di prendere i multipli di \( \displaystyle \beta \), che hanno tutti seno e coseno razionale (si pensi alle formule di moltiplicazione); un'altra possibilità è pensare ai "numeri pitagorici" \( \displaystyle {x}={{u}}^{{2}}-{{v}}^{{2}} \); \( \displaystyle {y}={2}{u}{v} \) ; \( \displaystyle {z}={{u}}^{{2}}+{{v}}^{{2}} \) e poi prendere q=z e p=x oppure p=y.

[elios]

Al fine della dimostrazione, perché comunque non mi è richiesto di trovare gli angoli \( \displaystyle \beta \), quale strada è meglio percorrere?

[giammaria]

Mi sembra abbastanza indifferente: personalmente preferisco i multipli di perchè si elencano in modo ordinato ma, come giustamente dici, l'elenco non è richiesto. Inoltre la mia scelta non origina tutte le soluzioni possibili, che invece mi pare ci siano pensando alle terne pitagoriche.

[elios]

Una cosa: quali sono le formule di moltiplicazione del seno e del coseno? (con fattore \( \displaystyle {k} \) generico)

[giammaria]

Non ci sono formule generali, tranne \( \displaystyle {s}{e}{n}{\left({n}+{1}\right)}{x}={s}{e}{n}{\left({n}{x}+{x}\right)}={s}{e}{n}{n}{x}{\cos{{x}}}+{\cos{{n}}}{x}{s}{e}{n}{x} \) e analoga per il coseno: questa formula mostra però che partendo da seni e coseni razionali, lo sono anche tutti i risultati. Naturalmente nulla vieta di aiutarsi con altre formule: ad esempio, sapendo le formule di duplicazione e triplicazione e volendo il seno di 5x, posso pensare che è 5x=2x+3x e usare le formule citate.

[Steven]

Restando in tema, se ti va, prova ad affrontare questo quesito (che uscì fuori ad un orale della SNS, se non erro, e in parte a quello mio della Superiore di Ct):

Verifica che l'esistenza di infinite terne pitagoriche implica l'esistenza di infiniti punti razionali sulla circonferenza goniometrica.
Viceversa, l'esistenza di infiniti punti razionali sulla circ- goniometrica usala per provare l'infinità delle terne pitagoriche.

Se poi vuoi trovare altri modi per provare l'infinità della terne pitagoriche, meglio.

[elios]

Penso si utilizzi il fatto che un punto sulla circonferenza goniometrica può essere descritto dalle funzioni goniometriche usando il triangolo rettangolo che si crea dalle proiezioni. Le terne pitagoriche sono i lati di questo triangolo rettangolo, e sono numeri interi. Esse sono le coordinate dei punti sulla circonferenza.
Non riesco a collegare però la circonferenza "goniometrica" e quindi di raggio 1, con le terne pitagoriche i cui valori sono invece maggiori di 1..