Punti X della retta r - SNS 1969

[elios]

"Nel piano sono dati tre punti non allineati \( \displaystyle {A} \), \( \displaystyle {B} \), \( \displaystyle {C} \), e la retta \( \displaystyle {r} \) perpendicolare in \( \displaystyle {A} \) al segmento \( \displaystyle {A}{B} \). Determinare gli eventuali punti \( \displaystyle {X} \) della retta \( \displaystyle {r} \) tali che: \( \displaystyle {A}{X}{B}={B}{X}{C} \) (angoli)"

Ho trovato subito una somiglianza con l'esercizio che avevo proposto nel topic "Rette parallele e punti equidistanti - SNS 1968", pur non riuscendo però a sfruttare le vie risolutive che mi sono state illustrate.
Sicuramente \( \displaystyle {X} \) si trova nel semipiano definito da \( \displaystyle {A}{B} \) in cui si trova il punto \( \displaystyle {C} \). Se così non fosse, l'angolo \( \displaystyle {B}{X}{C} \) sarebbe una parte dell'angolo \( \displaystyle {A}{X}{B} \), e sarebbe impossibile la loro congruenza. Quindi, so che il punto \( \displaystyle {X} \) deve essere tale che \( \displaystyle {X}{B} \) sia la bisettrice dell'angolo \( \displaystyle {A}{X}{C} \).
Qualcuno sa suggerirmi un modo per avanzare? Grazie.

[elios]

Ho notato (anche se non credo che possa portare a qualcosa) che X può essere ottenuto come intersezione fra il fascio di circonferenze passanti per \( \displaystyle {B} \) e \( \displaystyle {C} \), in cui l'arco \( \displaystyle {P}{B} \) è congruente a \( \displaystyle {B}{C} \), dove \( \displaystyle {P} \) è l'intersezione fra la semiretta \( \displaystyle {X}{A} \) e la circonferenza. So solo che questo fascio ha centro lungo l'asse di \( \displaystyle {B}{C} \)..
Poi ho pensato a cercare di sfruttare il quadrilatero che si ottiene, cioè \( \displaystyle {A}{B}{C}{X} \). Come se avessimo 3 punti dati e il compito di determinare il 4° lungo la retta perpendicolare ad AB tale che la diagonale \( \displaystyle {X}{B} \) sia anche bisettrice dell'angolo. Ho provato a fare un caso banale, il caso in cui \( \displaystyle {C} \) disti da \( \displaystyle {A}{B} \) una lunghezza pari a \( \displaystyle {A}{B} \): in questo caso \( \displaystyle {X} \) è l'intersezione fra la retta \( \displaystyle {r} \) e la parallela ad \( \displaystyle {A}{B} \) passante per \( \displaystyle {C} \). In questo caso \( \displaystyle {A}{X}{B}={B}{X}{C}={45}° \).. Però non riesco a estrapolare questo risultato..
Forse si può trovare un collegamento fra la distanza di \( \displaystyle {C} \) da \( \displaystyle {A}{B} \), e l'angolo \( \displaystyle {A}{X}{C} \) se acuto o ottuso..

[adaBTTLS]

ho tentato una strada un po' a casaccio, ed ho ottenuto un risultato del genere (se indichi i lati e gli angoli del triangolo \( \displaystyle {A}{B}{C} \) nel modo classico della trigonometria):

\( \displaystyle {\overline{{{A}{X}}}}=\frac{{{a}{c}{\sin{\beta}}-{b}{c}{\sin{\alpha}}}}{{{c}-{a}{\cos{\beta}}-{b}{\cos{\alpha}}}} \)

se può essere un risultato accettabile, considera che ho chiamato \( \displaystyle {K} \) il punto d'intersezione tra \( \displaystyle {A}{C} \) e \( \displaystyle {B}{X} \) ed ho applicato il teorema dei seni ai triangoli \( \displaystyle {A}{B}{K} \) e \( \displaystyle {B}{C}{K} \), scrivendo gli angoli in funzione di \( \displaystyle {x} \) e di "angoli noti".

prova e fammi sapere. ciao.

[elios]

\( \displaystyle {\overline{{{A}{X}}}}=\frac{{{a}{c}{\sin{\beta}}-{b}{c}{\sin{\alpha}}}}{{{c}-{a}{\cos{\beta}}-{b}{\cos{\alpha}}}} \)

Scusami, prima di provarci vorrei chiederti una cosa: non ho capito, a me sembra che in questa frazione, sia il numeratore sia il denominatore siano uguali a zero. Infatti \( \displaystyle {a}{c}\cdot{\sin{{\left(\beta\right)}}} \) è pari al doppio dell'area del triangolo \( \displaystyle {A}{B}{C} \) così come \( \displaystyle {b}{c}\cdot{\sin{{\left(\alpha\right)}}} \), e \( \displaystyle {c}={a}\cdot{\cos{{\left(\beta\right)}}}+{b}\cdot{\cos{{\left(\alpha\right)}}} \) (teorema delle proiezioni). Cos'è che non ho capito?

[adaBTTLS]

nulla. evidentemente ho ottenuto un'identità e non un'equazione.
dunque, anche se è possibile sfruttare qualche risultato intermedio, quello trovato è sbagliato.

[adaBTTLS]

con la stessa impostazione, ho tentato un'altra strada (con il teorema sei seni applicato ai triangoli \( \displaystyle {A}{B}{X} \) e \( \displaystyle {A}{C}{X} \)), anche se non ho verificato la coerenza delle soluzioni.
con \( \displaystyle {\cos{\alpha}}\le\frac{{b}}{{{2}{c}}} \) (ma io ho considerato una figura con \( \displaystyle {X} \) nello stesso semipiano individuato da \( \displaystyle {A}{B} \) rispetto a \( \displaystyle {C} \))
ho ottenuto

\( \displaystyle {\overline{{{A}{X}}}}=\frac{{{b}{c}{\left({\sin{\alpha}}\pm\sqrt{{{1}-\frac{{{2}{c}}}{{b}}{\cos{\alpha}}}}\right)}}}{{{2}{c}-{b}{\cos{\alpha}}}} \)

se ti va di verificarne la coerenza, oppure di provare a ripercorrere la traccia ...

[elios]

Perché \( \displaystyle {\cos{\alpha}}\lt\frac{{b}}{{{2}{c}}} \)?

[adaBTTLS]

solo per la condizione di esistenza delle radici (anche \( \displaystyle = \)): \( \displaystyle \Delta\ge{0} \)

[elios]

non riesco a seguire la tua traccia.. Hai applicato il teorema dei seni a \( \displaystyle {A}{B}{X} \) e \( \displaystyle {B}{X}{C} \), eliminando poi le espressioni con gli angoli che non fossero gli angoli del triangolo?

[adaBTTLS]

\( \displaystyle {A}{B}{X} \) è un triangolo rettangolo, ma non ho usato l'ipotenusa che non conosco:

\( \displaystyle \frac{{c}}{{{\sin{{x}}}}}=\frac{{{A}{X}}}{{{\sin{{\left(\frac{\pi}{{2}}-{x}\right)}}}}} \)

nel triangolo \( \displaystyle {A}{C}{X} \), gli angoli misurano \( \displaystyle \frac{\pi}{{2}}-\alpha \), \( \displaystyle \frac{\pi}{{2}}+\alpha-{2}{x} \), \( \displaystyle {2}{x} \), per cui:

\( \displaystyle \frac{{b}}{{{\sin{{\left({2}{x}\right)}}}}}=\frac{{{A}{X}}}{{{\sin{{\left(\frac{\pi}{{2}}+\alpha-{2}{x}\right)}}}}} \)

dalla prima relazione (si poteva anche ricavare subito per altra via, visto che si tratta di un triangolo rettangolo): \( \displaystyle {A}{X}={c}\cdot{\cot{{g{{x}}}}}=\frac{{{c}{\cos{{x}}}}}{{{\sin{{x}}}}} \)

si possono esaminare a parte i casi di \( \displaystyle {s}{e}{n}{x}={0} \) oppure \( \displaystyle {\cos{{x}}}={0} \), quindi si va avanti supponendo \( \displaystyle {\sin{{x}}}\ne{0}\wedge{\cos{{x}}}\ne{0} \).

confrontando le due relazioni si ottiene: \( \displaystyle {2}{c}{{\cos}}^{{2}}{x}={b}{\cos{{\left(\alpha-{2}{x}\right)}}} \)

e dopo qualche passaggio si ottiene un'omogenea di secondo grado in seno e coseno che trasformo in tangente:
\( \displaystyle {b}{\cos{\alpha}}{t}{{g}}^{{2}}{x}-{2}{b}{\sin{\alpha}}{t}{g{{x}}}+{\left({2}{c}-{b}{\cos{\alpha}}\right)}={0} \)

spero di aver ricopiato la parte giusta (visto che sull'agenda si sono "avvicendati" appunti diversi), e spero che sia chiaro. ricostruisci i passaggi e fammi sapere. ciao.