Punto di partenza per il metodo di newton

[Optimus Prime]

Salve a tutti,
Mi viene chiesto di studiare la convergenza del metodo di Newton, proponendo un valore iniziale, che garantisce la
convergenza ad \(\displaystyle a : f'(a) = 0\) dove:

\(\displaystyle f(x) = (x+2)cos(x) \), nell'intervallo \(\displaystyle [0, pigreco] \);

Per trovare un punto di partenza ottimale dovrei calcolare l'intorno di punti "buoni" per la convergenza risolvendo:
\(\displaystyle [f(x)f''(x) > 0] and [not (f'(a) = 0) ] \) oppure riuscire a disegnare il grafico. Il fatto è che con le funzioni trigonometriche non so proprio come semplificare il problema, qualcuno può aiutarmi?

[claudiocarcaci]

Se ho ben capito stai cercando uno zero della derivata della funzione data, quindi il metodo di newton è da applicare alla funzione derivata: \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={\cos{{\left({x}\right)}}}-{\left({x}+{2}\right)}\cdot{s}{e}{n}{\left({x}\right)} \) giusto?

[Optimus Prime]

si esattamente, nell'intervallo [0,pi]... tu come faresti?

[claudiocarcaci]

Ok, partendo dalla funzione iniziale:
\( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}}={\cos{{\left({x}\right)}}}-{\left({x}+{2}\right)}{s}{e}{n}{\left({x}\right)} \)
E calcolando la derivata seconda:
\( \displaystyle {{g}}^{{{\left({2}\right)}}}{\left({x}\right)}={\left({x}+{3}\right)}\cdot{s}{e}{n}{\left({x}\right)}-{2}\cdot{\cos{{\left({x}\right)}}} \)

E' chiaro che lo studio del segno non è risolubile per via analitica ma vanno usati ancora metodi numerici.
Quella che tu ricerchi è una condizione sufficiente per garantire la convergenza da qualunque punto si parta, ossia lungo l'intero dominio della funzione iniziale g(x), per cui tutto R.

Avendo un intervallo ben definito [0, pi] tale ricerca è superflua poichè è facile valutare almeno qualitativamente che in tale intervallo esiste un valore di x t.c.:
\( \displaystyle {\cos{{\left({x}\right)}}}={\left({x}+{2}\right)}\cdot{s}{e}{n}{\left({x}\right)} \)
quindi esiste uno zero ed essendo [0, pi] un intorno relativamente piccolo di tale zero si può procedere senza verificare la condizione sufficiente ma solo avvalendosi di quella necessaria ossia che \( \displaystyle {{g}}^{{{\left({2}\right)}}}{\left({x}\right)} \) sia continua e \( \displaystyle {g{'}}{\left({x}\right)}\ne{0} \) .

Domanda: ma è una richiesta specifica di un esercizio su qualche libro dotato di soluzioni?

[Optimus Prime]

Questo è la parte della consegna (esame ) che chiede di trovare un punto di partenza:

"...Per la stessa funzione si vuole determinare il valore  2 [0; pi] in cui la derivata prima si annulla, i.e. f'(a) = 0. Dopo
aver localizzato , studia la convergenza del metodo di Newton, proponendo un valore iniziale, che ne garantisce la
convergenza. Che ordine di convergenza ha il metodo? Perche? Partendo dal valore iniziale da te proposto, stima quante
iterazioni sono necessarie per ottenere un'errore dell'ordine di 10^8"

Allora io ho localizzato la radice con il metodo di bisezione e mi risulta [pi/4, pi/2]. Ma sei sicuro che posso rispondergli "dato che l'intervallo è relativamente piccolo partendo dal punto x il metodo convergerà alla radice" (senza disegnare il grafico, e senza risolvere il sistema)?

[claudiocarcaci]

Come sospettavo, chiede solo di fornire un punto che verifichi:
\( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}\cdot{{f}}^{{{\left({2}\right)}}}{\left({x}\right)}\gt{0} \)

Anche perchè ti sfido a disegnare analiticamente il grafico con i punti esatti essendo una equazione trigonometrica trascendentale l'espressione della derivata.

[Optimus Prime]

Grazie per la risposta, sicuramente è impossibile disegnare il grafico a mano, ma per essere certo di trovare un punto di partenza buono non dovrei conoscere l'intorno e quindi risolvere \(\displaystyle f(x)f''(x) > 0 \)?

[claudiocarcaci]

Ti sfido a trovare gli intervalli in cui \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}\cdot{{f}}^{{{\left({2}\right)}}}{\left({x}\right)}\gt{0} \)