Punto fisso

[Andrea90]

Salve a tutti!
Sia assegnata la funzione \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={5}{x}{{e}}^{{-{x}}}-{1} \). Provato che ammette una ed una soluzione \( \displaystyle \alpha\in{\left[{0};{1}\right]} \), è facile mostrare che \( \displaystyle \alpha \) è punto fisso per le funzioni di iterazione
\( \displaystyle \phi_{{1}}{\left({x}\right)}={\frac{{{1}}}{{{5}}}}{{e}}^{{x}} \), \( \displaystyle \phi_{{2}}{\left({x}\right)}={\log{{\left({5}{x}\right)}}} \) e \( \displaystyle \phi_{{3}}{\left({x}\right)}={\frac{{{\frac{{{{e}}^{{x}}}}{{{5}}}}-{{x}}^{{2}}}}{{{1}-{x}}}} \).
Si chiede adesso di stabilire quali delle tre funzioni di iterazione di cui sopra generano un metodo iterativo convergente partendo da \( \displaystyle {x}_{{0}}={0},{5} \) e di calcolare l'ordine di convergenza.

Illustro il ragionamento da me eseguito per la prima e per la seconda:
[1] riesce che \( \displaystyle \phi'_{{1}}{\left({x}\right)}={\frac{{{1}}}{{{5}}}}{{e}}^{{x}} \) da cui \( \displaystyle {\left|\phi'_{{1}}{\left({x}\right)}\right|}\lt{1},;\forall{x}\in{\left[{0};{1}\right]} \) ed in particolare essendo \( \displaystyle \alpha\in{\left[{0};{1}\right]} \) segue che \( \displaystyle {\left|\phi'_{{1}}{\left(\alpha\right)}\right|}\lt{1} \). Per il teorema di convergenza locale, il metodo iterativo con funzione di iterazione \( \displaystyle \phi_{{1}} \) converge al punto fisso \( \displaystyle \alpha \).

[2] Osservato che \( \displaystyle \phi'_{{2}}{\left({x}\right)}={\frac{{{1}}}{{{x}}}} \), ne segue che la \( \displaystyle \phi'_{{2}} \) non è limitata in \( \displaystyle {\left[{0};{1}\right]} \). Quindi cosa posso concludere? Il teorema di convergenza è una condizione sufficiente e non necessaria, quindi non so cosa dire.

Inoltre siamo sicuri che i ragionamenti vadano fatti in \( \displaystyle {\left[{0};{1}\right]} \)? Nel testo dell'esercizio non è specificato.

Vi ringrazio in anticipo per le risposte.

[Andrea90]

Niente da fare?

[claudiocarcaci]

Semplice:
\( \displaystyle {\left|{{f}}^{'}{\left({x}\right)}\right|}={\left|\frac{{5}}{{x}}\right|} \)
Per garantire la convergenza dovrà essere:
\( \displaystyle {\left|\frac{{5}}{{x}}\right|}\lt{1} \)
Da cui:
\( \displaystyle \frac{{5}}{{x}}\lt{1} \) e \( \displaystyle \frac{{5}}{{x}}\lt-{1} \)
Per cui:
\( \displaystyle {x}\gt{5} \) e \( \displaystyle {x}\lt-{5} \)
Pertanto essendo l'intervallo [0,1] non compreso negli intervalli trovati si ha che scelto x0 in [0,1] usando questo metodo non converge

[Andrea90]

Semplice:
\( \displaystyle {\left|{{f}}^{'}{\left({x}\right)}\right|}={\left|\frac{{5}}{{x}}\right|} \)

Forse intendevi dire \( \displaystyle {\left|\phi_{{2}}'{\left({x}\right)}\right|}={\left|{\frac{{{1}}}{{{x}}}}\right|} \)! Giusto?

[claudiocarcaci]

Sì, perdonami, questo succede a non andare in vacanza d'estate -.-''
Ho cannato modulo e derivata -.-''

Comunque:
\( \displaystyle {\left|{{f}}^{'}{\left({x}\right)}\right|}={\left|\frac{{1}}{{x}}\right|} \)
Per garantire la convergenza dovrà essere:
\( \displaystyle {\left|\frac{{1}}{{x}}\right|}\lt{1} \)
Da cui:
\( \displaystyle \frac{{1}}{{x}}\lt{1} \) e \( \displaystyle \frac{{1}}{{x}}\gt-{1} \)
Per cui:
\( \displaystyle {x}\gt{1} \) e \( \displaystyle {x}\lt-{1} \)
Pertanto essendo l'intervallo [0,1] non compreso negli intervalli trovati si ha che scelto x0 in [0,1] usando questo metodo non converge

[Andrea90]

Perfetto! Non era necessario che riscrivessi tutto! Grazie per la risposta!
Adesso è la volta di \( \displaystyle \phi_{{3}} \). Se dovessi avere problemi, li illustrerò in questa sede!