Punto interno ad angolo acuto - SNS

[elios]

Il testo dell'esercizio è il seguente:
"E' dato un angolo acuto ed un punto P interno ad esso: condurre per P una retta che stacca un triangolo di area assegnata \( \displaystyle {{a}}^{{2}} \). Dire per quali valori di \( \displaystyle {a} \) il problema ammette soluzioni."

Io ho tracciato il sistema di riferimento e ho posto nell'origine la semiretta \( \displaystyle {r} \) che forma l'angolo acuto dato \( \displaystyle \alpha \). Quindi
\( \displaystyle {r}:{y}={\tan{{\left(\alpha\right)}}}\cdot{x} \), con \( \displaystyle {0}\lt\alpha\lt\frac{\pi}{{2}} \).
Il punto dato è \( \displaystyle {P}{\left({x}_{{0}};{y}_{{0}}\right)} \), con \( \displaystyle {x}_{{0}},{y}_{{0}}\gt{0} \), \( \displaystyle {y}_{{0}}\lt{\tan{{\left(\alpha\right)}}}\cdot{x}_{{0}} \) (che traduce il fatto che P sia interno all'angolo, cioè appartenente al semipiano 'inferiore' formato da \( \displaystyle {r} \)).
A questo punto la retta \( \displaystyle {t} \) passante per P ha equazione:
\( \displaystyle {t}:{y}-{y}_{{0}}={m}{\left({x}-{x}_{{0}}\right)} \)
\( \displaystyle {t}:{y}={m}\cdot{x}+{y}_{{0}}-{m}\cdot{x}_{{0}} \)
con \( \displaystyle {m} \) compreso fra meno infinito e 0, oppure fra \( \displaystyle {\tan{{\left(\alpha\right)}}} \) e più infinito.
Ora trovo i tre vertici del triangolo. Il punto A, intersezione fra l'asse x e la retta \( \displaystyle {t} \), e dopo aver fatto il sistema, ottengo:
\( \displaystyle {A}_{{x}}=\frac{{{m}\cdot{x}_{{0}}-{y}_{{0}}}}{{m}} \), \( \displaystyle {A}_{{y}}={0} \)
Il punto B, intersezione fra la retta \( \displaystyle {t} \) e la semiretta \( \displaystyle {r} \):
\( \displaystyle {B}_{{x}}=\frac{{{m}\cdot{x}_{{0}}-{y}_{{0}}}}{{{m}-{\tan{{\left(\alpha\right)}}}}} \), \( \displaystyle {B}_{{y}}={\tan{{\left(\alpha\right)}}}\cdot\frac{{{m}\cdot{x}_{{0}}-{y}_{{0}}}}{{{m}-{\tan{{\left(\alpha\right)}}}}} \)
Poi ho calcolato l'area del triangolo formato dai tre vertici: origine, \( \displaystyle {A} \) e \( \displaystyle {B} \), attraverso il calcolo della matrice, e ho ottenuto:
\( \displaystyle {A}{r}{e}{a}={\tan{{\left(\alpha\right)}}}\cdot\frac{{{\left({m}\cdot{x}_{{0}}-{y}_{{0}}\right)}}^{{2}}}{{{2}{m}\cdot{\left({m}-{\tan{{\left(\alpha\right)}}}\right)}}} \)
Siccome questa area è pari a \( \displaystyle {{a}}^{{2}} \), e io devo trovare le condizioni di \( \displaystyle {a} \), ho ricavato \( \displaystyle {a} \):
\( \displaystyle {a}={\left|{m}\cdot{x}_{{0}}-{y}_{{0}}\right|}\sqrt{{\frac{{{\tan{{\left(\alpha\right)}}}}}{{{2}{m}\cdot{\left({m}-{\tan{{\left(\alpha\right)}}}\right)}}}\right.}} \)
(con la radice che comprende sia il numeratore sia il denominatore)

A questo punto non so come ricavarmi i valori di \( \displaystyle {a} \) per cui il problema ammetta soluzione. Se analizzo l'argomento della radice, noto che è sempre maggiore di zero, e lo stesso vale per il modulo. Non capisco perché ci dovrebbero essere valori di \( \displaystyle {a} \) per cui l'ultima espressione che ho scritto non abbia senso..
Grazie mille!

[adaBTTLS]

dal testo pare che non sia necessario ricavare \( \displaystyle {a} \) dalla radice dell'area, però mi pare che per come hai impostato il problema sia da imporre, oltre che \( \displaystyle {A}_{{y}}={0} \), anche \( \displaystyle {A}_{{x}},{B}_{{x}},{B}_{{y}}\gt{0} \).
spero che sia chiaro e che risolva il tuo dubbio. ciao.

[elios]

Sì, è vero, bisogna imporre anche la positività delle coordinate di \( \displaystyle {A} \) e \( \displaystyle {B} \), ma questo non mi aiuta a risolvere il problema.. o no?

[adaBTTLS]

le condizioni su m le hai scritte. se non dipendesse dal punto P, qualunque valore dell'area sarebbe possibile.

[giammaria]

Dai suggerimenti ricevuti, hai sicuramente concluso che m deve essere esterno all'intervallo \( \displaystyle {\left({0},{\tan{\alpha}}\right)} \) e che non conviene estrarre la radice; il problema resta però ancora complicato. Penso che la risposta più semplice sia lo studio della funzione \( \displaystyle {y}={{a}}^{{2}} \), che tende a più infinito agli estremi dell'intervallo e ad una costante per m tendente ad infinito. Entrambi questi risultati si deducevano facilmente anche dalla figura: il primo notando che avvicinandosi a questi estremi tendono ad infinito OA o OB e qindi le aree dei triangoli OAP o OBP, che sono parte do OAB; il secondo notando che in quel caso si ottiene un triangolo rettangolo di cateti facilmente calcolabili.
I problemi vengono nello studio della derivata; infatti da y'>0 si deduce
\( \displaystyle {\left({m}{x}_{{0}}-{y}_{{0}}\right)}{\left({m}{p}-{y}_{{0}}{\tan{\alpha}}\right)}\gt{0} \)
avendo posto per brevità \( \displaystyle {p}={2}{y}_{{0}}-{x}_{{0}}{\tan{\alpha}} \). L'equazione si risolve subito, ma al variare del segno di p cambia sia la scelta fra valori interni ed esterni che la posizione del caposaldo \( \displaystyle {k}=\frac{{{y}_{{0}}{\tan{\alpha}}}}{{p}} \) (l'altro caposaldo sta nell'intervallo escluso dal campo di studio, come deducibile dalle tue osservazioni). Devi quindi distinguere due casi: se p>0 prendi i valori esterni e si ha \( \displaystyle {k}\gt{\tan{\alpha}} \), se invece p<0 usi i valori interni ed è k<0. In entrambi i casi, si ha un minimo per m=k e ne deduci l'area minima.

Ho cercato se c'erano impostazioni che evitassero di distinguere in due casi aventi lo stesso risultato, ma senza successo; ho invece notato che in condizioni di minimo P è il punto medio di AB. Questo mi fa supporre che esista un metodo rapido per dimostrarlo, ma in proposito ho solo qualche mezza idea ed è senz'altro un problema a livello olimpico. Allo stesso livello è anche fare la costruzione di A,B noti l'angolo e il punto medio di AB.

[elios]

I problemi vengono nello studio della derivata; infatti da y'>0 si deduce
\( \displaystyle {\left({m}{x}_{{0}}-{y}_{{0}}\right)}{\left({m}{p}-{y}_{{0}}{\tan{\alpha}}\right)}\gt{0} \)
avendo posto per brevità \( \displaystyle {p}={2}{y}_{{0}}-{x}_{{0}}{\tan{\alpha}} \).

Scusami come hai trovato questa disequazione?

[giammaria]

Derivando la tua formula rispetto alla variabile m; spero che tu conosca l'analisi, altrimenti è ovvio che il tutto ti è incomprensibile. Si ha
\( \displaystyle {y}={a}{r}{e}{a}=\frac{{{\tan{\alpha}}}}{{2}}\cdot{\frac{{{{\left({m}{x}_{{0}}-{y}_{{0}}\right)}}^{{2}}}}{{{{m}}^{{2}}-{m}{\tan{\alpha}}}}} \).
Il primo fattore è una costante positiva ed è positivo anche il quadrato del denominatore, quindi y' è positivo se lo è il numeratore, cioè se
\( \displaystyle {2}{\left({m}{x}_{{0}}-{y}_{{0}}\right)}\cdot{x}_{{0}}\cdot{\left({{m}}^{{2}}-{m}{\tan{\alpha}}\right)}-{{\left({m}{x}_{{0}}-{y}_{{0}}\right)}}^{{2}}{\left({2}{m}-{\tan{\alpha}}\right)}\gt{0} \)
A questo punto basta mettere in evidenza \( \displaystyle {\left({m}{x}_{{0}}-{y}_{{0}}\right)} \) e fare gli altri calcoli.

[elios]

perché devo mettere in evidenza \( \displaystyle {\left({m}\cdot{x}_{{0}}-{y}_{{0}}\right)} \)?
Il valore dell'area di cui devo trovare i possibili valori lo devo trovare in funzione di \( \displaystyle {m} \)?

[giammaria]

I domanda) Devi metterlo in evidenza perchè, non sapendo il suo segno, non puoi semplificarlo; d'altra parte, sarebbe assurdo moltiplicarlo, con l'unico risultato di trovare alla fine una disequazione scritta in modo più complesso.
II domanda) Avevo detto "Penso che la risposta più semplice sia lo studio della funzione" e il mio procedimento si adattava a questo; la tua obiezione mi ha però fatto riconsiderare il tutto e mi rendo conto che esiste un metodo MOLTO più facile, quindi mi scuso e riparto da zero. Avevamo
\( \displaystyle {{a}}^{{2}}={\tan{\alpha}}{\frac{{{{\left({m}{x}_{{0}}-{y}_{{0}}\right)}}^{{2}}}}{{{m}{\left({m}-{\tan{\alpha}}\right)}}}} \)
Dando denominatore comune e svolgendo i calcoli ottieni un'equazione di secondo grado in m (che è la nostra variabile, in quanto identifica la retta per P) e devi imporre che ci siano soluzioni e che siano esterne all'intervallo \( \displaystyle {\left({0},{\tan{\alpha}}\right)} \); non ti suggerisco come, perchè dipende da quali metodi di discussione hai studiato.

Spero che questa volta lo svolgimento sia chiaro.

[giammaria]

Torno sul mio ultimo intervento per un'ulteriore semplificazione: è sufficiente imporre che le soluzioni esistano, cioè che il discriminante sia maggiore o uguale a zero. Infatti in questo caso, poichè tutto il resto è positivo, lo è certo anche il denominatore, quindi m è certo esterno all'intervallo indicato.