Ok, quindi come la mia. Già che sono qui faccio che fare la dimostrazione, visto che sono due righe.
Poniamo \( \displaystyle D := B_r(z_0) \) . Supponiamo per assurdo che non ci siano punti singolari. Allora per ogni \( \displaystyle z \in \partial B_r(z_0) \) esistono un disco \( \displaystyle D_z = B_{r_z}(z) \) ed una funzione \( \displaystyle g_z \in H(D_z) \) tali che \( \displaystyle (g_z)_{\mid D \cap D_z} = f_{\mid D \cap D_z} \) . Siccome \( \displaystyle \partial D \) è compatto, possiamo selezionare un numero finito di questi punti \( \displaystyle z_1,\ldots,z_n \) in modo che i dischi associati \( \displaystyle D_1,\ldots,D_n \) ricoprano \( \displaystyle \partial D \) . Allora il principio del prolungamento analitico garantisce che se \( \displaystyle D_i \cap D_j \ne \emptyset \) si ha \( \displaystyle (g_i)_{\mid D_i \cap D_j} = (g_j)_{\mid D_i \cap D_j} \) (dove le \( \displaystyle g_i \) sono le \( \displaystyle g_{z_i} \) ). A questo punto abbiamo finito, perché le \( \displaystyle g_i \) si incollano tra di loro e con \( \displaystyle f \) (le funzioni olomorfe formano fascio!
) producendo un'estensione \( \displaystyle \widetilde{f} \colon U \to \mathbb C \) dove \( \displaystyle U = D_1 \cup \ldots \cup D_n \) è un aperto contenente in modo proprio \( \displaystyle \overline{D} \) . Bene, ma allora sappiamo che il raggio di convergenza dello sviluppo in serie di potenze di \( \displaystyle \widetilde{f} \) in \( \displaystyle z_0 \) è precisamente uguale alla distanza di \( \displaystyle z_0 \) da \( \displaystyle \partial U \) (teorema di Cauchy), il che è evidentemente assurdo essendo da un lato questa distanza strettamente maggiore di \( \displaystyle r \) e dall'altro lato ci si rende conto che lo sviluppo in serie di potenze di \( \displaystyle \widetilde{f} \) ha precisamente gli stessi coefficienti di quello di \( \displaystyle f \) (di nuovo, principio del prolungamento analitico).
Uhm. Non è due righe. Avessi fatto un disegno era davvero di due righe, però!
I believe in the axiom of choice, and in particular that every proper ideal in a ring is contained in a maximal ideal!