da carlo23 » 30/12/2005, 16:57
Per la gioia di Crook e degli altri:
Prima di tutto dimostriamo che l'equazione \( \displaystyle {m}{p}={{a}}^{{2}}+{{b}}^{{2}} \) dove \( \displaystyle {p} \) è un numero primo \( \displaystyle \equiv{1}\text{mod}{4} \) ha soluzione.
Consideriamo un \( \displaystyle {a} \) qualsiasi, abbiamo per il criterio di Eulero che \( \displaystyle -{a} \) è un residuo quadratico modulo \( \displaystyle {p} \) se e solo se
\( \displaystyle {{\left(-{a}\right)}}^{{\frac{{{p}-{1}}}{{2}}}}\equiv{1}\text{mod}{p} \)
quindi \( \displaystyle -{1} \) è un residuo quadratico e l'equazione ha sicuramente soluzione per un qualche \( \displaystyle {m} \).
Sia \( \displaystyle {m}_{{0}} \) la soluzione più piccola, dimostriamo che \( \displaystyle {m}_{{0}}={1} \), per assurdo \( \displaystyle {m}_{{0}}\gt{1} \) allora
\( \displaystyle {m}_{{0}}{p}={{a}}^{{2}}+{{b}}^{{2}} \)
e per l'algoritmo di Euclide segue che si può scrivere
\( \displaystyle {a}={x}{m}_{{0}}+{x}_{{1}} \) con \( \displaystyle -\frac{{m}_{{0}}}{{2}}\lt{x}_{{1}}\lt\frac{{m}_{{0}}}{{2}} \)
\( \displaystyle {b}={y}{m}_{{0}}+{y}_{{1}} \) con \( \displaystyle -\frac{{m}_{{0}}}{{2}}\lt{y}_{{1}}\lt\frac{{m}_{{0}}}{{2}} \)
e da ciò segue che
\( \displaystyle {q}{m}_{{0}}={{x}_{{1}}^{{2}}}+{{y}_{{1}}^{{2}}} \) per qualche \( \displaystyle {q}\lt{m}_{{0}} \) (ovviamente intero)
e abbiamo
\( \displaystyle {{m}_{{0}}^{{2}}}{q}{p}={\left({{x}_{{1}}^{{2}}}+{{y}_{{1}}^{{2}}}\right)}{\left({{a}}^{{2}}+{{b}}^{{2}}\right)}={{\left({a}{x}_{{1}}+{b}{y}_{{1}}\right)}}^{{2}}+{{\left({a}{y}_{{1}}-{b}{x}_{{1}}\right)}}^{{2}} \)
ma anche
\( \displaystyle {a}{x}_{{1}}+{b}{y}_{{1}}=\times_{{1}}{m}_{{0}}+{{x}_{{1}}^{{2}}}+{y}{y}_{{1}}{m}_{{0}}+{{y}_{{1}}^{{2}}}=\times_{{1}}{m}_{{0}}+{y}{y}_{{1}}{m}_{{0}}+{q}{m}_{{0}}={s}{m}_{{0}} \) per qualche \( \displaystyle {s} \)
\( \displaystyle {a}{y}_{{1}}-{b}{x}_{{1}}={x}{y}_{{1}}{m}_{{0}}+{x}_{{1}}{y}_{{1}}-{y}{m}_{{0}}{x}_{{1}}+{x}_{{1}}{y}_{{1}}={x}{y}_{{1}}{m}_{{0}}-{y}{m}_{{0}}{x}_{{1}}={t}{m}_{{0}} \) per qualche \( \displaystyle {t} \)
ciò implica che
\( \displaystyle {q}{p}={{s}}^{{2}}+{{t}}^{{2}} \)
quindi anche \( \displaystyle {q} \) è una soluzione \( \displaystyle \lt{m}_{{0}} \), ma ciò è assurdo poichè \( \displaystyle {m}_{{0}} \) è la più piccola soluzione e questo completa la dimostrazione.
Il secondo teorema si dimostra in modo analogo, semmai lo scrivo dopo.
Spero di aver scritto tutto giusto,
Ciao,ciao!
