Quadrati particolari

[karl]

Determinare tutti gli interi positivi il cui quadrato termina con tre cifre uguali
a "4". (Esempio :1038^2=1077444)
Esistono interi il cui quadrato termina con quattro "4" ?
Archimede

[carlo23]

Determinare tutti gli interi positivi il cui quadrato termina con tre cifre uguali
a "4". (Esempio :1038^2=1077444)
Esistono interi il cui quadrato termina con quattro "4" ?
Archimede

Sono i numeri che hanno come ultime cifre 038 o 538 o 462 0 962.
La risposta alla seconda domanda è no, si verifica calcolando i residui quadratici modulòo 10000.

Adesso faccio io una domanda, e i numeri il cui quadrato termina con cinque 4?

[karl]

Una qualche dimostrazione ?
Ciao.
Archie

[carlo23]

Una qualche dimostrazione ?
Ciao.
Archie

Non l'ho postata perchè è poco elegante, comunque se ci tieni. Sia \( \displaystyle {n} \) un numero il cui quadrato termina con tre 4.Allora abbiamo \( \displaystyle {{n}}^{{2}}\equiv{444}\text{mod}{1000} \). La Teoria dei Residui Quadratici ci dice che una volta trovati tutti i numeri \( \displaystyle {0}=\lt{r}\lt{1000} \) che soddisfano \( \displaystyle {{r}}^{{2}}\equiv{444}\text{mod}{1000} \) allora gli \( \displaystyle {n} \) che soddisfano l'uguaglianza sono tutti e solo tutti i numeri \( \displaystyle \equiv{r}\text{mod}{1000} \) per qualche \( \displaystyle {r} \), quindi procedendo per forza bruta si ottiene il risultato. Alla seconda domanda si risponde in modo analogo, stavolta in modulo 10000.

Ciao,ciao!

[karl]

Se la tua e' poco elegante figurati la mia che si base su piu' modeste
considerazioni semialgebriche.
Trovo invece molto interessanti le questioni di aritmetica delle congruenze .
Archimede.

[carlo23]

Trovo invece molto interessanti le questioni di aritmetica delle congruenze .
Archimede.

Si, anche secondo me sono molto interessanti. Ne discendono molti teoremi tutt'altro che ovvi, tipo ogni numero primo congruo a 1 modulo 4 è somma di due quadrati e il meno conosciuto ogni numero primo congruo a 1 modulo 6 è somma di un quadrato e del triplo di un quadrato.

Ciao, ciao!

[TomSawyer]

Si, anche secondo me sono molto interessanti. Ne discendono molti teoremi tutt'altro che ovvi, tipo ogni numero primo congruo a 1 modulo 4 è somma di due quadrati e il meno conosciuto ogni numero primo congruo a 1 modulo 6 è somma di un quadrato e del triplo di un quadrato.

Queste due dimostrazioni non sono presentate quasi da nessun libro. Ci si limita solo a dire che sono estremamente complicate. Sarei proprio curioso di vederle.

[carlo23]

Si, anche secondo me sono molto interessanti. Ne discendono molti teoremi tutt'altro che ovvi, tipo ogni numero primo congruo a 1 modulo 4 è somma di due quadrati e il meno conosciuto ogni numero primo congruo a 1 modulo 6 è somma di un quadrato e del triplo di un quadrato.

Queste due dimostrazioni non sono presentate quasi da nessun libro. Ci si limita solo a dire che sono estremamente complicate. Sarei proprio curioso di vederle.

Io le conosco!

Un attimo di tempo per scrverle e le posto!

Ciao, ciao!

[TomSawyer]

Ah,grazie. Non è che hai trovato anche delle dimostrazioni alternative e piu' eleganti?

[carlo23]

Ah,grazie. Non è che hai trovato anche delle dimostrazioni alternative e piu' eleganti?

No, devo dire che la dimostrazione di Eulero è elegantissima. Mi sembra esista una dimostrazione di solo 3 righe, ma che poggia su un qualche teorema complicatissimo quindi non vale la pena di conoscerla...