quadrati perfetti

[eafkuor]

Dato un intero \( \displaystyle {k} \), provare che ci sono infinite triplette di interi \( \displaystyle {\left({a},{b},{c}\right)} \) tali che \( \displaystyle {b}{c}-{k} \), \( \displaystyle {c}{a}-{k} \) e \( \displaystyle {a}{b}-{k} \) sono quadrati perfetti.

[carlo23]

Dato un intero \( \displaystyle {k} \), provare che ci sono infinite triplette di interi \( \displaystyle {\left({a},{b},{c}\right)} \) tali che \( \displaystyle {b}{c}-{k} \), \( \displaystyle {c}{a}-{k} \) e \( \displaystyle {a}{b}-{k} \) sono quadrati perfetti.

Caso k=1

Esistono infinite triplette di interi \( \displaystyle {\left({a},{b},{c}\right)} \) tali che \( \displaystyle {b}{c}-{1} \), \( \displaystyle {c}{a}-{1} \) e \( \displaystyle {a}{b}-{1} \) sono quadrati perfetti, infatti si possono ricavare
tali interi dato un intero \( \displaystyle {j} \) arbitrario si ha

\( \displaystyle {a}={1} \)

\( \displaystyle {b}={4}{{j}}^{{4}}+{1} \)

\( \displaystyle {c}={{j}}^{{2}}+{1} \)

tali triplette soddisfano le condizioni richieste infatti si ha

\( \displaystyle {a}{b}-{1}={{\left({2}{{j}}^{{2}}\right)}}^{{2}} \)

\( \displaystyle {a}{c}-{1}={{j}}^{{2}} \)

\( \displaystyle {b}{c}-{1}={{\left({2}{{j}}^{{3}}+{j}\right)}}^{{2}} \)

Complimenti eafkuor hai postato un bel problema, vedo se riesco a fare qualcosa per il caso generale

Ciao, ciao!

[carlo23]

Dato un intero \( \displaystyle {k} \), provare che ci sono infinite triplette di interi \( \displaystyle {\left({a},{b},{c}\right)} \) tali che \( \displaystyle {b}{c}-{k} \), \( \displaystyle {c}{a}-{k} \) e \( \displaystyle {a}{b}-{k} \) sono quadrati perfetti.

Caso generale

Esistono infinite triplette di interi \( \displaystyle {\left({a},{b},{c}\right)} \) tali che \( \displaystyle {b}{c}-{{m}}^{{2}} \), \( \displaystyle {c}{a}-{{m}}^{{2}} \) e \( \displaystyle {a}{b}-{{m}}^{{2}}\text{} \) sono quadrati perfetti, queste triplette si ottengono dato un intero \( \displaystyle {j} \) arbitrario

\( \displaystyle {a}={1} \)

\( \displaystyle {b}={{j}}^{{2}}+{2}{j}+{k}+{1} \)

\( \displaystyle {c}={{j}}^{{2}}+{k} \)

Infatti si ha

\( \displaystyle {a}{b}-{k}={{\left({j}+{1}\right)}}^{{2}} \)

\( \displaystyle {a}{c}-{k}={{j}}^{{2}} \)

\( \displaystyle {b}{c}-{k}={{\left({{j}}^{{2}}+{j}+{k}\right)}}^{{2}} \)

PS credo sia giusto

[eafkuor]

a me sembra giusto, anche se non ho capito perchè all' inizio metti \( \displaystyle {b}{c}-{{m}}^{{2}} \), \( \displaystyle {c}{a}-{{m}}^{{2}} \), \( \displaystyle {a}{b}-{{m}}^{{2}} \)

[carlo23]

a me sembra giusto, anche se non ho capito perchè all' inizio metti \( \displaystyle {b}{c}-{{m}}^{{2}} \), \( \displaystyle {c}{a}-{{m}}^{{2}} \), \( \displaystyle {a}{b}-{{m}}^{{2}} \)

Perchè ho fatto un casino, pensavo di aver dimostrato solo il caso \( \displaystyle {k} \) quadrato perfetto e invece ho dimostrato il caso generale, comunque adesso ho corretto. Per curiosità il problema che hai postato è una tua congettura, un tuo teorema o un teorema già conosciuto?

Ciao, ciao!

[eafkuor]

no no, è un teorema già ben conosciuto
comunque complimenti!

[carlo23]

no no, è un teorema già ben conosciuto
comunque complimenti!

Nonostante i casini che ho fatto? Beh,grazie...

Ciao, ciao!