Quadrato e non quadrato perfetto - SNS 1968

[elios]

"Provare che il prodotto di quattro interi positivi consecutivi non è mai un quadrato perfetto e che aggiungendo al prodotto trovato 1 si ottiene sempre un quadrato perfetto"

La seconda parte è semplice: \( \displaystyle {n}{\left({n}+{1}\right)}{\left({n}+{2}\right)}{\left({n}+{3}\right)}+{1}={{n}}^{{4}}+{6}{{n}}^{{3}}+{11}{{n}}^{{2}}+{6}{n}+{1}={{\left({{n}}^{{2}}+{3}{n}+{1}\right)}}^{{2}} \).
Per quanto riguarda la prima parte, \( \displaystyle {n}{\left({n}+{1}\right)}{\left({n}+{2}\right)}{\left({n}+{3}\right)} \) è un quadrato perfetto se \( \displaystyle {n}{\left({n}+{2}\right)}={\left({n}+{1}\right)}{\left({n}+{3}\right)} \) o se \( \displaystyle {n}{\left({n}+{1}\right)}={\left({n}+{2}\right)}{\left({n}+{3}\right)} \) o se \( \displaystyle {n}{\left({n}+{3}\right)}={\left({n}+{1}\right)}{\left({n}+{2}\right)} \).. Tali espressioni portano sempre ad equazioni impossibili o ad \( \displaystyle {n} \) non interi.
Posso dimostrarlo in questo modo?

[adaBTTLS]

tu sei partita dalla seconda parte, e in questo modo hai definito infiniti quadrati perfetti, di cui il primo è 25.
ora parti da un numero che già sai come quadrato perfetto, \( \displaystyle {m}={{k}}^{{2}},{k}\in\mathbb{N},{k}\ge{5} \). è possibile che \( \displaystyle {m}-{1} \) sia un quadrato perfetto?

[blackbishop13]

dimostrato che \( \displaystyle {n}{\left({n}+{1}\right)}{\left({n}+{2}\right)}{\left({n}+{3}\right)}+{1}={{c}}^{{2}} \) , \( \displaystyle \forall{n}\in\mathbb{N}_{{0}} \) con \( \displaystyle {c}\in\mathbb{N} \) e \( \displaystyle {c}\ge{5} \),

allora otteniamo che \( \displaystyle \forall{n}\in\mathbb{N}_{{0}} \) si ha che

\( \displaystyle {n}{\left({n}+{1}\right)}{\left({n}+{2}\right)}{\left({n}+{3}\right)}={{c}}^{{2}}-{1} \) con \( \displaystyle {c}\in\mathbb{N}-{\left\lbrace{0},{1},{2},{3},{4}\right\rbrace} \)

\( \displaystyle \forall{c}\in\mathbb{N}-{\left\lbrace{0},{1},{2},{3},{4}\right\rbrace} \) si ha che \( \displaystyle {{c}}^{{2}}-{1} \) non è un quadrato perfetto, e nemmeno lo è \( \displaystyle {n}{\left({n}+{1}\right)}{\left({n}+{2}\right)}{\left({n}+{3}\right)} \)
Q.E.D.

[elios]

Posso dire che \( \displaystyle {{c}}^{{2}}-{1} \) non è un quadrato perfetto poiché \( \displaystyle {{c}}^{{2}}-{1}={\left({c}+{1}\right)}{\left({c}-{1}\right)} \), e \( \displaystyle {c}+{1} \) non è mai uguale a \( \displaystyle {c}-{1} \)?

[WiZaRd]

Più semplicemente sbattendo al posto di \( \displaystyle {c} \) i valori \( \displaystyle {0},{1},{2},{3},{4} \) in \( \displaystyle {{c}}^{{2}}-{1} \) non ottieni mai un quadrato perfetto.

[elios]

Ma sbaglio o devo dimostrare che \( \displaystyle {{c}}^{{2}}-{1} \) non è un quadrato perfetto per tutti i valori di \( \displaystyle {c} \) tranne 1,2,3,4, e non per questi valori?

[adaBTTLS]

ogni quadrato perfetto è somma di primi numeri dispari: \( \displaystyle {{n}}^{{2}}={1}+{3}+\ldots+{\left({2}{n}-{1}\right)} \).
la differenza tra due quadrati perfetti consecutivi è un numero dispari che diventa sempre maggiore all'aumentare di n: \( \displaystyle {{\left({n}+{1}\right)}}^{{2}}-{{n}}^{{2}}={2}{n}+{1} \).
se \( \displaystyle {m}={{k}}^{{2}},{k}\ge{5} \) è un quadrato perfetto (\( \displaystyle {{c}}^{{2}} \) è un quadrato perfetto), allora il più grande quadrato perfetto più piccolo di \( \displaystyle {m}={{k}}^{{2}} \) è \( \displaystyle {m}-{2}{k}+{1} \), dunque, per \( \displaystyle {k}\ge{2} \), \( \displaystyle {{k}}^{{2}}-{1} \) (\( \displaystyle {{c}}^{{2}}-{1} \)) non può essere un quadrato perfetto.

[Steven]

Posso dire che \( \displaystyle {{c}}^{{2}}-{1} \) non è un quadrato perfetto poiché \( \displaystyle {{c}}^{{2}}-{1}={\left({c}+{1}\right)}{\left({c}-{1}\right)} \), e \( \displaystyle {c}+{1} \) non è mai uguale a \( \displaystyle {c}-{1} \)?

No, è un errore concettuale

In generale, se hai un numero \( \displaystyle {a} \) e vuoi mostrare che è un quadrato perfetto, se pure riuscissi ad ottenere una fattorizzazione \( \displaystyle {a}={b}{c} \) non è lecito imporre \( \displaystyle {b}={c} \) cioè \( \displaystyle {a}={{b}}^{{2}} \).

Basta vedere come, ad esempio
\( \displaystyle {36}={12}\cdot{3} \) ma da qui a dire che \( \displaystyle {12} \) è uguale a \( \displaystyle {3} \)...
A meno che non hai anche la straordinaria ipotesi che hai a che fare con il quadrato di un primo, e sia \( \displaystyle {b} \) che \( \displaystyle {c} \) siano diversi da \( \displaystyle {1} \). Allora a quel punto a forza devi avere \( \displaystyle {b}={c}={p} \) e \( \displaystyle {a}={{p}}^{{2}} \)

Ciao!

[elios]

Sì, ma nel caso specifico, cioè \( \displaystyle {{c}}^{{2}}-{1}={\left({c}+{1}\right)}{\left({c}-{1}\right)} \), so che questa è l'ultima fattorizzazione (non posso scomporlo ancora). In questo caso è lecito farlo?

[adaBTTLS]

perché?
prendi \( \displaystyle {c}={7} \). \( \displaystyle {48} \) non si scompone solo come \( \displaystyle {6}\cdot{8} \).