qual è il massimo?

[Piera]

Su un piano alfa sono dati un segmento AB = 1 e due
semirette di origine A: AS , AS’ , giacenti da bande opposte
rispetto ad AB, con angolo BAS = 45° , angolo BAS’ = 30°.
Siano AM = 4 , BN =1 segmenti perpendicolari al piano alfa,
giacenti in uno stesso semispazio di origine alfa, e sia R un
punto del segmento AB . Da R si tracci una retta appartenente
al piano alfa e perpendicolare ad AB, e siano P e Q i punti di
intersezione della retta con le semirette AS , AS’ rispettivamente.
Determinare il massimo volume che può assumere la piramide di
vertici M, N , P ,Q .

[karl]

Ho trovato che il il massimo si ha per \( \displaystyle {\overline{{{A}{R}}}}=\frac{{2}}{{3}} \).Se il risultato
e' giusto posto anche il procedimento ( un calcolo ..da niente!),
altrimenti ciccia e mi riposo...dalla fatiche di fine anno.
Il vostro Archimede (ancora tutto insonnolito)

[MaMo]

@ Archimede: io ho trovato il tuo stesso risultato.
Il volume massimo diventa:
\( \displaystyle {V}_{{\max}}=\frac{{2}}{{9}}{\left({1}+\frac{\sqrt{{3}}}{{3}}\right)} \)
Visto che è di moda.....determinarlo senza l'uso di derivate.

[karl]

[Le figure sono una soza,perdonatemi]

Il risultato di Mamo mi conforta e mi spinge a postare il procedimento.
Si puo' prendere come base della piramide il triangolo MPQ e come altezza NH (vedi fig.1)
POsto AR=x (0<x<=1) e quindi RB=1-x si ha (fig 3):
\( \displaystyle {M}{R}=\sqrt{{{{\overline{{{A}{M}}}}}^{{2}}+{{\overline{{{A}{R}}}}}^{{2}}}}=\sqrt{{{{x}}^{{2}}+{16}}} \)
mentre dal triangolo APQ (fig2) si ricava:
\( \displaystyle {\overline{{{P}{Q}}}}={\overline{{{P}{R}}}}+{\overline{{{R}{Q}}}}={x}{\left(\frac{{{3}+\sqrt{{3}}}}{{3}}\right)} \)
Quindi:
\( \displaystyle {A}{r}{e}{a}{\left({M}{P}{Q}\right)}=\frac{{{\overline{{{P}{Q}}}}\cdot{\overline{{{M}{R}}}}}}{{2}}={\left(\frac{{{3}+\sqrt{{3}}}}{{6}}\right)}{x}\sqrt{{{{x}}^{{2}}+{16}}} \)
Per avere \( \displaystyle {\overline{{{N}{H}}}} \) passiamo alla fig3.Posto HR=y e MH=z-y
(con \( \displaystyle {z}=\sqrt{{{{x}}^{{2}}+{16}}} \)) si ricava:
\( \displaystyle {{\overline{{{M}{N}}}}}^{{2}}-{{\overline{{{M}{H}}}}}^{{2}}={{\overline{{{N}{R}}}}}^{{2}}-{{\overline{{{R}{H}}}}}^{{2}} \) ovvero:
\( \displaystyle {10}-{{\left({z}-{y}\right)}}^{{2}}={1}+{{\left({1}-{x}\right)}}^{{2}}-{{y}}^{{2}} \) da cui con qualche calcolo si ha:
\( \displaystyle {y}=\frac{{{{x}}^{{2}}-{x}+{4}}}{\sqrt{{{{x}}^{{2}}+{16}}}} \)
Pertanto :
\( \displaystyle {\overline{{{N}{H}}}}=\sqrt{{{{\overline{{{N}{R}}}}}^{{2}}-{{\overline{{{H}{R}}}}}^{{2}}}}=\frac{{{4}-{3}{x}}}{\sqrt{{{{x}}^{{2}}+{16}}}} \)
Il volume sara' allora:
(1) \( \displaystyle {V}=\frac{{1}}{{3}}\cdot{A}{r}{e}{a}{\left({M}{P}{Q}\right)}\cdot{N}{H}=\frac{{{3}+\sqrt{{3}}}}{{{18}}}{x}{\left({4}-{3}{x}\right)} \)
A meno di costanti positive,la funzione da massimizzare e':
\( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={3}{x}{\left({4}-{3}{x}\right)},{0}\lt{x}\le{1} \)
Si puo' fare a meno delle derivate osservando che i due fattori
che compaiono in f(x) hanno somma costante 3x+4-3x=4 e quindi
il massimo richiesto si ha quando essi sono uguali:
3x=4-3x da cui \( \displaystyle {\overline{{{A}{R}}}}={x}=\frac{{2}}{{3}} \).Daltra parte risulta che:
\( \displaystyle {f{{\left({0}\right)}}}={0},{f{{\left({1}\right)}}}={3},{f{{\left(\frac{{2}}{{3}}\right)}}}={4}\gt{3}\gt{0} \) e quindi \( \displaystyle {x}=\frac{{2}}{{3}} \) corrisponde
ad un massimo assoluto.Sostituendo poi in (1) il valore di x trovato si ha il
volume massimo gia' indicato da Mamo.
Archimede.

[Piera]

Faccio i complimenti (oltre agli auguri di buon anno!!) ad
archimede e a MaMo per aver risolto il problema!!

Il volume della piramide può essere trovato, dopo aver posto AR = x,
anche per differenza di volumi:

VP(MNPQ) =VP(MNBAP) + VP(MNBAQ) – VP(APQM) - VP(BPQN)

dove VP(MNPQ) indica il volume della piramide di vertici M,N,P,Q
VP(MNBAP) volume piramide M,N,B,A,P
e analogamente per tutti gli altri simboli