Quei cari amiconi dei triangoli rettangoli (trigo)...:-(

[*anicka]

Eccomi qua, con nuovi problemi che mi tolgono la tranquillità interiore...
Se qualche buon anima mi volesse aiutare, son qua!

1) E' data una semicirconferenza \( \displaystyle &#{947}; \) di diametro AB=12 e centro O. Una semiretta di origine A incontra \( \displaystyle &#{947}; \) in C, e in D la retta tangente a \( \displaystyle &#{947}; \) in B in modo che risulti AD=20.
Rispondere ai seguenti quesiti:
a) determinare le funzioni goniometriche e i lati dei triangoli ABD e ABC;
b) detto M il punto medio dell'arco BC, determinare le funzioni goniometriche degli angoli BAM e CMB;
c) calcolare l'area del quadrilatero AOCN, essendo N il punto medio dell'arco AC.

Soluzioni:

a) BD=16, cosBAD=cos\( \displaystyle &#{945}; \)=\( \displaystyle \frac{{3}}{{5}} \); sen\( \displaystyle &#{945}; \)=4/5; senADB=3/5; ABC=\( \displaystyle &#{960}\frac{;}{{2}} \)-\( \displaystyle &#{945}; \)=ADB; AC=\( \displaystyle \frac{{36}}{{5}} \) BC=\( \displaystyle \frac{{48}}{{5}} \); b) cosBAM=cos\( \displaystyle &#{945}\frac{;}{{2}} \)=\( \displaystyle {2}&#{8730};\frac{{5}}{{5}} \); cosCMB=cos\( \displaystyle {\left(&#{960};-&#{945};\right)} \)=\( \displaystyle -\frac{{3}}{{5}} \); c) area AOCN=\( \displaystyle \frac{{108}}{{5}} \)

2) Il triangolo ABC ha i lati AB e AC lunghi rispettivamente \( \displaystyle {b} \) e \( \displaystyle {3}&#{8730};{3}{b} \) e l'area uguale a \( \displaystyle &#{8730};\frac{{3}}{{2}} \)\( \displaystyle {b}² \). Calcolare l'area del triangolo isoscele ACD avente per base AC e angolo alla base BAC.

Soluzione: S=\( \displaystyle \frac{{27}}{{16}} \)\( \displaystyle &#{8730};{2} \)\( \displaystyle {b}² \)

3) Data la semicirconferenza di centro O e di diametro AB=2r, considerando la corda AF=\( \displaystyle {r}&#{8730};{3} \) e il raggio OM perpendicolare ad AB. Detto H il punto di intersezione di AF e OM, calcolare l'area del triamgolo MHF.

Soluzione: S=\( \displaystyle {\left({3}-&#{8730};{3}\right)} \)/\( \displaystyle {12} \)\( \displaystyle {r}² \)

Davvero grazie di cuore a tutti.
Se sarò in grado, contraccabierò volentieri.


Per questi problemi non so proprio da dove iniziare perchè purtroppo sono stata assente quando ne ha spigato la teoria...

[*anicka]

Ehm...ho fatto un pò di mistakes nella digitazione, ecco le correzioni (sorry!):
1) prima soluz della b:
cosBAM=cos\( \displaystyle &#{945}\frac{;}{{2}} \)=\( \displaystyle {\left({2}&#{8730};{5}\right)} \)/\( \displaystyle {5} \) -->2 radice di 5 fratto 5

2)...area uguale a: \( \displaystyle &#{8730};{3} \)/\( \displaystyle {2} \)•\( \displaystyle \)b²\( \displaystyle -\to{r}{a}{d}{i}{c}{e}{d}{i}{3}{\mathfrak{{a}}}{\mathtt{{o}}}{2},{i}{l}{t}{u}{\mathtt{{o}}}{p}{e}{r}{b}{a}{l}{l}{a}{\sec{{o}}}{n}{d}{a}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{3}\){L}{a}{s}{o}{l}{u}{z}{i}{o}\neè: \)(3-√3)\( \displaystyle / \)12\( \displaystyle \)•\( \displaystyle \)r²$ --> (3 MENO RADICE DI 3)/12 il tutto per r alla seconda.

Spero che ora sia comprensibile......Graz...ie!

[nicola de rosa]

1) Il triangolo \( \displaystyle {A}{B}{C} \) è rettangolo perchè inscritto in una semicirconferenza.
a)
\( \displaystyle {B}{D}=\sqrt{{{A}{{D}}^{{2}}-{A}{{B}}^{{2}}}}=\sqrt{{{400}-{144}}}=\sqrt{{{256}}}={16} \)
Poi \( \displaystyle {B}{D}={A}{D}\cdot{\sin{{\left(\alpha\right)}}}\to{\sin{{\left(\alpha\right)}}}=\frac{{{B}{D}}}{{{A}{D}}}=\frac{{16}}{{20}}=\frac{{4}}{{5}} \) per cui \( \displaystyle {\cos{{\left(\alpha\right)}}}=\sqrt{{{1}-{{\sin}}^{{2}}{\left(\alpha\right)}}}=\sqrt{{{1}-\frac{{16}}{{25}}}}=\frac{{3}}{{5}} \)
Poi \( \displaystyle {A}{D}{B}=\frac{\pi}{{2}}-\alpha\to{\sin{{\left({A}{B}{D}\right)}}}={\sin{{\left(\frac{\pi}{{2}}-\alpha\right)}}}={\cos{{\left(\alpha\right)}}}=\frac{{3}}{{5}} \)
\( \displaystyle {A}{B}{C}=\frac{\pi}{{2}}-\alpha \), \( \displaystyle {B}{C}={A}{B}\cdot{\sin{{\left(\alpha\right)}}}={12}\cdot\frac{{4}}{{5}}=\frac{{48}}{{5}},{A}{C}={A}{B}\cdot{\cos{{\left(\alpha\right)}}}={12}\cdot\frac{{3}}{{5}}=\frac{{36}}{{5}} \)
b)\( \displaystyle {B}{A}{M}=\frac{\alpha}{{2}}\to{\cos{{\left({B}{A}{M}\right)}}}={\cos{{\left({B}{A}{M}\right)}}}=\sqrt{{\frac{{{1}+{\cos{{\left(\alpha\right)}}}}}{{2}}}}=\sqrt{{\frac{{{1}+\frac{{3}}{{5}}}}{{2}}}}=\sqrt{{\frac{{4}}{{5}}}}=\frac{{2}}{{\sqrt{{5}}}}={2}\frac{\sqrt{{5}}}{{5}} \) per cui
\( \displaystyle {\sin{{\left({B}{A}{M}\right)}}}=\sqrt{{{1}-\frac{{4}}{{5}}}}=\frac{\sqrt{{5}}}{{5}} \), \( \displaystyle {C}{M}{B}=\pi-\alpha\to{\cos{{\left({C}{M}{B}\right)}}}={\cos{{\left(\pi-\alpha\right)}}}=-{\cos{{\left(\alpha\right)}}}=-\frac{{3}}{{5}} \)
c)\( \displaystyle {A}_{{{A}{O}{C}{N}}}={2}\cdot{A}_{{{A}{O}{N}}} \), \( \displaystyle {A}_{{{A}{O}{N}}}=\frac{{1}}{{2}}\cdot{A}{O}\cdot{O}{N}\cdot{\sin{{\left({A}{O}{N}\right)}}} \) dove \( \displaystyle {A}{O}{N}=\frac{{1}}{{2}}\cdot{A}{O}{C}=\frac{{1}}{{2}}\cdot{\left(\pi-{2}\alpha\right)}=\frac{\pi}{{2}}-\alpha \) per cui
\( \displaystyle {A}_{{{A}{O}{C}{N}}}={2}\cdot{A}_{{{A}{O}{N}}}={2}\cdot\frac{{1}}{{2}}\cdot{6}\cdot{6}\cdot{\sin{{\left(\frac{\pi}{{2}}-\alpha\right)}}}={36}\cdot{\cos{{\left(\alpha\right)}}}={36}\cdot\frac{{3}}{{5}}=\frac{{108}}{{5}} \)


2)Il punto \( \displaystyle {D} \) si trova sul prolungamento di \( \displaystyle {A}{B} \)
\( \displaystyle {B}{A}{C}={B}{C}{A}=\alpha \)
L'area di \( \displaystyle {A}_{{{A}{B}{C}}}=\frac{{1}}{{2}}\cdot{A}{B}\cdot{A}{C}\cdot{\sin{{\left(\alpha\right)}}}\to{\sin{{\left(\alpha\right)}}}=\frac{{{2}\cdot{A}_{{{A}{B}{C}}}}}{{{A}{B}\cdot{A}{C}}}=\frac{{1}}{{3}} \) per cui \( \displaystyle {\cos{{\left(\alpha\right)}}}={2}\frac{\sqrt{{2}}}{{3}} \)
Per il teorema dei seni \( \displaystyle \frac{{{A}{D}}}{{{\sin{{\left(\alpha\right)}}}}}=\frac{{{A}{C}}}{{{\sin{{\left({A}{D}{C}\right)}}}}} \) con \( \displaystyle {A}{D}{C}=\pi-{2}\alpha \) per cui
\( \displaystyle {A}{D}={A}{C}\cdot\frac{{\sin{{\left(\alpha\right)}}}}{{{\sin{{\left(\pi-{2}\alpha\right)}}}}}={A}{C}\cdot\frac{{\sin{{\left(\alpha\right)}}}}{{{\sin{{\left({2}\alpha\right)}}}}}=\frac{{{A}{C}}}{{{2}{\cos{{\left(\alpha\right)}}}}}=\frac{{9}}{{4}}\cdot\sqrt{{\frac{{3}}{{2}}}}\cdot{b} \)
Ora \( \displaystyle {A}_{{{A}{C}{D}}}=\frac{{1}}{{2}}\cdot{A}{D}\cdot{D}{C}\cdot{\sin{{\left({A}{D}{C}\right)}}}=\frac{{1}}{{2}}\cdot{{\left(\frac{{9}}{{4}}\cdot\sqrt{{\frac{{3}}{{2}}}}\cdot{b}\right)}}^{{2}}\cdot{\sin{{\left({2}\alpha\right)}}}=\frac{{1}}{{2}}\cdot{{\left(\frac{{9}}{{4}}\cdot\sqrt{{\frac{{3}}{{2}}}}\cdot{b}\right)}}^{{2}}\cdot{2}{\sin{{\left(\alpha\right)}}}\cdot{\cos{{\left(\alpha\right)}}} \)
=\( \displaystyle \frac{{1}}{{2}}\cdot\frac{{81}}{{16}}\cdot\frac{{3}}{{2}}\cdot{2}\cdot\frac{{1}}{{3}}\cdot{2}\frac{\sqrt{{2}}}{{3}}\cdot{{b}}^{{2}}=\frac{{27}}{{16}}\cdot\sqrt{{2}}\cdot{{b}}^{{2}} \)


3)
\( \displaystyle {F}{A}{B}=\alpha \), \( \displaystyle {A}{F}={A}{B}\cdot{\cos{{\left(\alpha\right)}}}\to{\cos{{\left(\alpha\right)}}}=\frac{\sqrt{{3}}}{{2}}\to\alpha=\frac{\pi}{{6}} \)
\( \displaystyle {O}{H}={A}{O}\cdot{t}{g{{\left(\alpha\right)}}}={r}\cdot\frac{\sqrt{{3}}}{{3}}\to{M}{H}={r}-{O}{H}=\frac{{r}}{{3}}\cdot{\left({3}-\sqrt{{3}}\right)} \)
\( \displaystyle {A}{H}=\sqrt{{{A}{{O}}^{{2}}+{O}{{H}}^{{2}}}}=\frac{{{2}{r}}}{{\sqrt{{3}}}}\to{H}{F}={A}{F}-{A}{H}=\frac{{r}}{{\sqrt{{3}}}} \) per cui
\( \displaystyle {A}_{{{M}{H}{F}}}=\frac{{1}}{{2}}\cdot{M}{H}\cdot{H}{F}\cdot{\sin{{\left({M}{H}{F}\right)}}}=\frac{{1}}{{2}}\cdot{M}{H}\cdot{H}{F}\cdot{\sin{{\left(\frac{\pi}{{2}}-\alpha\right)}}}=\frac{{1}}{{2}}\cdot{M}{H}\cdot{H}{F}\cdot{\cos{{\left(\alpha\right)}}}=\frac{{1}}{{2}}\cdot{M}{H}\cdot{H}{F}\cdot{\cos{{\left(\frac{\pi}{{6}}\right)}}} \)=
\( \displaystyle \frac{{1}}{{2}}\cdot\frac{{r}}{{3}}\cdot{\left({3}-\sqrt{{3}}\right)}\cdot\frac{{r}}{{\sqrt{{3}}}}\cdot\frac{\sqrt{{3}}}{{2}}=\frac{{{r}}^{{2}}}{{12}}\cdot{\left({3}-\sqrt{{3}}\right)} \)

[*anicka]

Grazie Nica (giusto?), mi sei davvero di grande aiuto!