DajeForte ha scritto:la soluzione \( \displaystyle \frac{{1}}{{2}} \) può non essere corretta. Rimane dunque un problema aperto di cui non ho ancora chiara la soluzione.
Questo problema mi puzzava fin dall'inizio....
DajeForte ha scritto:Le mie considerazioni erano:
[cut]
Ora come sarà \( \displaystyle {p}{\left({T}\right)} \)?
Io la sparo così: \( \displaystyle \frac{{N}}{{{N}+{\sum_{{{i}={1}}}^{{N}}}{X}_{{i}}}} \) dove X_i="numero di figli femmina della famiglia i"; è a sua volta una geometrica legata alla T_i da \( \displaystyle {T}_{{i}}={X}_{{i}}+{1} \).
Da qua poi binomiale negativa.
I mei complimenti per il ragionamento. L'idea di buttare la binomiale e considerare le famiglie singolarmente e quindi la geometrica, è eccellente!
Mi torna tutto quello che hai scritto. Quindi, facendo la sostituzione, risulta
\( \displaystyle {p}{\left({T}\right)}=\frac{{N}}{{{\sum_{{{i}={1}}}^{{{N}}}}{T}_{{i}}}}=\frac{{N}}{{Z}} \)
dove \( \displaystyle {Z} \) è una binomiale negativa di parametri \( \displaystyle {N} \) e \( \displaystyle \frac{{1}}{{2}} \).
La sua pmf è \( \displaystyle {P}{\left({Z}={k}\right)}={\left(\matrix{{k}-{1}\\{N}-{1}}\right)}\cdot{{\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}}^{{k}} \), con \( \displaystyle {k}\ge{N} \).
La sua media \( \displaystyle {E}{\left({Z}\right)}={2}{N} \)
Però \( \displaystyle {E}{\left(\frac{{N}}{{Z}}\right)}\ne\frac{{N}}{{{E}{\left({Z}\right)}}}=\frac{{1}}{{2}} \)
Consideriamo ad esempio il caso di una sola famiglia \( \displaystyle {N}={1} \). Si ha \( \displaystyle {p}{\left({T}\right)}=\frac{{1}}{{T}_{{1}}} \)
Infatti se il primo figlio è maschio ho \( \displaystyle {p}{\left({T}\right)}={1} \) con probabilità \( \displaystyle \frac{{1}}{{2}} \).
Se il maschio nasce a \( \displaystyle {T}={2} \), abbiamo \( \displaystyle {p}{\left({T}\right)}=\frac{{1}}{{2}} \) con probabilità \( \displaystyle {{\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}}^{{2}} \)
Se il maschio nasce a \( \displaystyle {T}={k} \) abbiamo \( \displaystyle {p}{\left({T}\right)}=\frac{{1}}{{k}} \) con probabilità \( \displaystyle {{\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}}^{{k}} \).
La media di \( \displaystyle {p}{\left({T}\right)} \) è allora \( \displaystyle {\sum_{{{k}={1}}}^{{\infty}}}\frac{{1}}{{k}}\cdot{{\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}}^{{k}}={\log{{\left({2}\right)}}}\sim{0.693} \)
Ben diverso da \( \displaystyle \frac{{1}}{{2}} \) e nonostante \( \displaystyle {E}{\left({T}_{{1}}\right)}={2} \).
Ho fatto una simulazione con R che mi confermano questi risultati. Codice:
- Codice: Seleziona tutto
pinf <- function(N=1000,sim=20000) {
p <- numeric()
for(k in 1:sim) {
y <- numeric()
i <- 1
y[i] <- rbinom(1,N,0.5)
while (y[i] != 0) {
i <- i+1;
y[i] <- rbinom(1,y[i-1],0.5)
}
p[k] <- N/(N+sum(y))
}
hist(p,main=paste("N =",format(N,digits=7),"; Media =",format(mean(p),digits=6)))
}
pinf(1)
Istogrammi per vari valori di \( \displaystyle {N} \):
Si vede che \( \displaystyle {p}{\left({T}\right)} \) tende ad avere media \( \displaystyle \frac{{1}}{{2}} \) al crescere di \( \displaystyle {N} \).
Ora non so che distribuzione (asimmetrica) abbia \( \displaystyle {p}{\left({T}\right)}=\frac{{N}}{{Z}} \), però sono riuscito ad ottenere la media, utilizzando la pmf binomiale negativa.
\( \displaystyle {E}{\left(\frac{{N}}{{Z}}\right)}={N}{E}{\left(\frac{{1}}{{Z}}\right)}={N}{\sum_{{{k}={N}}}^{{\infty}}}\frac{{1}}{{k}}\cdot{\left(\matrix{{k}-{1}\\{N}-{1}}\right)}{{\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}}^{{k}}={N}\cdot{B}_{{\frac{{1}}{{2}}}}{\left({N},{1}-{N}\right)} \) (grazie a wolframalpha!)
dove \( \displaystyle {B}_{{{z}}}{\left({a},{b}\right)} \) è la funzione beta incompleta.
Non mi è riuscito di calcolare quella funzione in R, vuole che i parametri a e b siano positivi..
(se hai dritte..)
Quindi l'ho calcolata in wolframalpha e per \( \displaystyle {N}={1} \) mi conferma \( \displaystyle {\log{{\left({2}\right)}}} \), mentre per \( \displaystyle {N}={100000} \) mi da
\( \displaystyle \sim{0.5000025} \)
Ancora irrisolto: distribuzione di p(T) e -volendo- di p(t).
Edit: se \( \displaystyle {T}_{{1}} \) è geometrica, \( \displaystyle \frac{{1}}{{T}_{{1}}} \) è una distribuzione nota ?
Edit2: cosa non ti torna in R ?
