Quozienti di K[x] con K campo

[LLLorenzzz]

Ciao a tutti

Ho due dubbi sui quozienti del tipo \( \displaystyle {K}{\left[{x}\right]}\//{\left({f}\right)} \) con K campo e f polinomio a coefficienti in K di grado non nullo

1) ho visto a lezione che se f è irriducibile allora il quoziente è uno spazio vettoriale su K di dimensione pari al grado di f. Mi stavo chiedendo se ciò vale anche quando f non è irriducibile

2) Nel caso in cui f sia irriducibile di grado 2, allora penso f come polinomio minimo di un elemento u di un'estensione F di K che si algebrico su K. Allora \( \displaystyle {K}{\left[{x}\right]}\//{\left({f}\right)} \) è isomorfo a \( \displaystyle {K}{\left({u}\right)} \) e nell'estensione \( \displaystyle {K}{\left({u}\right)} \) ritrovo la radice u. Ma ci trovo anche l'altra radice di f (chiamiamola v)? posso dire che \( \displaystyle {K}{\left({u}\right)}={K}{\left({v}\right)}={K}{\left({u},{v}\right)} \)?.

Grazie ciao!

[Martino]

1) ho visto a lezione che se f è irriducibile allora il quoziente è uno spazio vettoriale su K di dimensione pari al grado di f. Mi stavo chiedendo se ciò vale anche quando f non è irriducibile

Certo.

2) Nel caso in cui f sia irriducibile di grado 2, allora penso f come polinomio minimo di un elemento u di un'estensione F di K che si algebrico su K. Allora \( \displaystyle {K}{\left[{x}\right]}\//{\left({f}\right)} \) è isomorfo a \( \displaystyle {K}{\left({u}\right)} \) e nell'estensione \( \displaystyle {K}{\left({u}\right)} \) ritrovo la radice u. Ma ci trovo anche l'altra radice di f (chiamiamola v)? posso dire che \( \displaystyle {K}{\left({u}\right)}={K}{\left({v}\right)}={K}{\left({u},{v}\right)} \)?

Sì, perché riesci a scomporre il polinomio su \( \displaystyle {K}{\left({u}\right)} \) usando Ruffini. Nota però che già per il grado 3 non è più vero.

Dimenticavo: benvenuto nel forum!

[LLLorenzzz]

Grazie mille ciao!

[angus89]

Ma se quoziento per un polinomio riducibile, ad esempio \( \displaystyle \frac{Q[x]}{(x^2-2x+1)} \) , Questo non è un campo perché \( \displaystyle {\left({x}-{1}\right)} \) è zerodivisore, infatti \( \displaystyle {\left({x}-{1}\right)}{\left({x}-{1}\right)}={0} \).
Spero di non aver detto sciocchezze, infatti la mia è una domanda: è giusto?

[Martino]

Ma se quoziento per un polinomio riducibile, ad esempio \( \displaystyle \frac{Q[x]}{(x^2-2x+1)} \) , Questo non è un campo perché \( \displaystyle {\left({x}-{1}\right)} \) è zerodivisore, infatti \( \displaystyle {\left({x}-{1}\right)}{\left({x}-{1}\right)}={0} \).
Spero di non aver detto sciocchezze, infatti la mia è una domanda: è giusto?

Giusto. Ma rimane uno spazio vettoriale sul campo base (nel tuo caso Q).