raccoglimento eq.log

[homer]

Ciao a tutti, mi sono piantato su un raccoglimento che non riesco a risolvere di una equazione logaritmica.

\( \displaystyle {5}{{x}}^{{\log{{x}}}}+{\left(\frac{{2}}{{{x}}^{{{\log{{x}}}}}}\right)}={7} \)

mi sono piantato qui!

L'equazione di partenza invece era:

\( \displaystyle {5}{{x}}^{{\log{{x}}}}+{2}{{x}}^{{-{\log{{x}}}}}-{7}={0} \)
Il risultato dovrebbe essere \( \displaystyle {1} \), e vorrei raccogliere \( \displaystyle {{x}}^{{\log{{x}}}} \), ma come ho detto non riesco a vedere come posso fare.

Grazie a tutti
Ciao

[MaMo]

Ponendo \( \displaystyle {{x}}^{{{\log{{x}}}}}={t} \) si ottiene l'equazione:

\( \displaystyle {5}{{t}}^{{2}}-{7}{t}+{2}={0} \)

...

[homer]

Questa è l'equazione di partenza

\( \displaystyle {5}{{x}}^{{\log{{x}}}}+{2}{{x}}^{{-{\log{{x}}}}}-{7}={0} \)

se pongo\( \displaystyle {{x}}^{{{\log{{x}}}}}={t} \)

allora avrò

\( \displaystyle {5}{t}-{2}{t}-{7}={0} \)

e non \( \displaystyle {5}{{t}}^{{2}}-{7}{t}+{2}={0} \)

o mi sto sbagliando di grosso?

[MaMo]

Avrai \( \displaystyle {5}{t}+\frac{{2}}{{t}}-{7}={0} \)...

[homer]

Avrai \( \displaystyle {5}{t}+\frac{{2}}{{t}}-{7}={0} \)...

Ok, otterrò \( \displaystyle {5}{{t}}^{{2}}={5} \)

\( \displaystyle {{t}}^{{2}}={1} \), da cui \( \displaystyle {{x}}^{{\log{{x}}}}={1} \)

Grazie

[MaMo]

Ok, otterrò \( \displaystyle {5}{{t}}^{{2}}={5} \)

\( \displaystyle {{t}}^{{2}}={1} \), da cui \( \displaystyle {{x}}^{{\log{{x}}}}={1} \)

Grazie

No! Ottieni l'equazione di secondo grado che ho scritto prima.

[homer]

No! Ottieni l'equazione di secondo grado che ho scritto prima.

Scusa, abbi pazienza, ma non ho capito il procedimento.

Allora:
mediante un parametro, ottengo \( \displaystyle {5}{t}+\frac{{2}}{{t}}-{7}={0} \), fin qui ci sono e ho tutto chiaro, ma come arrivi ad ottenere una equazione di secondo grado? che è \( \displaystyle {5}{{t}}^{{2}}-{7}{t}+{2}={0} \)

Grazie, pensavo di aver risolto invece.....

[homer]

Accidenti, mi sono perso in un bicchiere d'acqua!

\( \displaystyle {5}{t}+\frac{{2}}{{t}}-{7}={0} \)

il denominatore comune è \( \displaystyle {t} \), per cui \( \displaystyle {5}{{t}}^{{2}}+{2}-{7}{t}={0} \)

scusate la dormita, non avevo visto una cosa lampante.

Dopo di questo faccio una normale equazione di seccondo grado i cui risultati sono \( \displaystyle {t}=\frac{{2}}{{5}};{1} \).

Risulta quindi \( \displaystyle {{x}}^{{\log{{x}}}}={1} \) e \( \displaystyle {{x}}^{{\log{{x}}}}=\frac{{2}}{{5}} \)

[homer]

\( \displaystyle {{x}}^{{\log{{x}}}}={1} \) e \( \displaystyle {{x}}^{{\log{{x}}}}=\frac{{2}}{{5}} \)

Il risultato del libro è x=1.
dall'equazione di secondo grado le soluzioni sono due, di cui solo una è accettabile (così dice la soluzione) perchè?

Come posso spiegare che 2/5 non è accettabile?

Grazie

[MaMo]

Il risultato del libro è x=1.
dall'equazione di secondo grado le soluzioni sono due, di cui solo una è accettabile (così dice la soluzione) perchè?
Come posso spiegare che 2/5 non è accettabile?

Passando ai logaritmi si ha:

\( \displaystyle {{x}}^{{{\log{{x}}}}}=\frac{{2}}{{5}}\Rightarrow{\log{{\left({{x}}^{{{\log{{x}}}}}\right)}}}={\log{{\left(\frac{{2}}{{5}}\right)}}} \)

Per la proprietà dei logaritmi essa diventa:

\( \displaystyle {\log{{x}}}\cdot{\log{{x}}}={\log{{\left(\frac{{2}}{{5}}\right)}}} \)

\( \displaystyle {{\left({\log{{x}}}\right)}}^{{2}}={\log{{\left(\frac{{2}}{{5}}\right)}}} \)

Ma essendo \( \displaystyle {\log{{\left(\frac{{2}}{{5}}\right)}}}\lt{0} \) la soluzione non è accettabile.