So che in \( \displaystyle {Z} \) gli ideali massimali coincidono con gli ideali primi e di conseguenza il radicale di jacobson coincide con il nilradicale di \( \displaystyle {Z} \). La stessa proprietà dovrebbe valere anche nei quozienti di \( \displaystyle {Z} \) ? Faccio questa domanda perchè in un altro esercizio ho caratterizzato il nilradicale di \( \displaystyle {Z}_{{n}} \) così: sia \( \displaystyle {n}={{p}_{{1}}^{{{k}_{{1}}}}}\ldots{{p}_{{t}}^{{{k}_{{t}}}}} \) con \( \displaystyle {p}_{{1}},\ldots,{p}_{{t}} \) primi distinti allora un elemento \( \displaystyle {\left[{a}\right]}_{{n}}\in{Z}_{{n}} \) è nilpotente se e solo se \( \displaystyle {a} \) è multiplo del prodotto \( \displaystyle {p}_{{1}}\ldots{p}_{{t}} \) . E l'ordine del nilradicale è \( \displaystyle {{p}_{{1}}^{{{k}_{{1}}-{1}}}}\ldots{{p}_{{t}}^{{{k}_{{t}}-{1}}}} \)
Gli ideali massimali (e quindi primi ? ) di \( \displaystyle {Z}_{{n}} \) se non sbaglio dovrebbero coincidere con i sottogruppi massimali di \( \displaystyle {Z}_{{n}} \), no? Essendo \( \displaystyle {n}={{p}_{{1}}^{{{k}_{{1}}}}}\ldots{{p}_{{t}}^{{{k}_{{t}}}}} \) , mi sembra possibilissimo che l' intersezione dei massimali abbia ordine \( \displaystyle {{p}_{{1}}^{{{k}_{{1}}-{1}}}}\ldots{{p}_{{t}}^{{{k}_{{t}}-{1}}}} \). D'altra parte potrei anche caratterizzare il radicale di jacobson in quest'altro modo: l'insieme degli elementi \( \displaystyle {x}\in{Z}_{{n}} \) tali che \( \displaystyle {1}+{x}{y} \) è coprimo con \( \displaystyle {n} \) per ogni \( \displaystyle {y}\in{Z}_{{n}} \) (che a prima vista non mi sembra equivalente alla caratterizzazione del nilradicale)
Perché non provi a dimostrarlo? Non è difficile!