Radici di un polinomio.

[Kashaman]

Salve ragazzi , sono alle prese con il seguente esercizio di algebra 1 con alcuni dubbi.
Esercizio :
http://www.dm.uniba.it/~barile/Rete/Tracce/traccia_30.pdf
Il numero tre.
Per il punto a chiede di trovare tutte le radici in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{43}} \)
e al punto b in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{7}} \).
Io ho ragionato cosi, poichè i polinomi sono definiti in un campo finito, allora avranno al piu n soluzioni, ove n indica l'ordine del gruppo. Per il punto ho ragionato cosi : sia k una ipotetica radice, allora k è strettamente minore di 43 e strettamente maggiore di Zero. Poichè M.c.D ( k, 43)= 1, allora \( \displaystyle {{k}}^{{3528}} \) \( \displaystyle \equiv \) 1 (mod 43). Ove per il teorema di Fermat, \( \displaystyle {{k}}^{{3528}} \) \( \displaystyle \equiv \)\( \displaystyle {{k}}^{{43}} \)(mod43). Ed è qui che mi blocco, penso di avere un difetto nel ragionamento. questo processo risolutivo porta a un qualcosa o sono completamente fuori strada?

[maurer]

L'idea è giusta, ma la applichi sbagliata. Il teorema di Fermat dice che \( \displaystyle x^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \) per ogni \( \displaystyle x \in \mathbb Z / p \mathbb Z \) , \( \displaystyle \overline{x} \ne \overline{0} \) . Quindi, siccome \( \displaystyle 3528 = 42 \cdot 84 \) otteniamo che \( \displaystyle k \) è soluzione se e solo se \( \displaystyle k^{3528} + x - 36 \equiv 0 \pmod{43} \iff 1 + x - 36 \equiv 0 \pmod{43} \) (osservato preliminarmente che \( \displaystyle 0 \) non è soluzione). L'altro caso è completamente analogo.

[Kashaman]

Se ho ben capito, si usa Fermat per trovaregli elementi invertibili in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{43}} \). In questo caso (caso a) \( \displaystyle {{x}}^{{{43}-{1}}} \)\( \displaystyle \equiv \)\( \displaystyle {1}{\left(\text{mod}{43}\right)} \).
Dopo di che constato che \( \displaystyle {{k}}^{{3528}} \)\( \displaystyle \equiv \)\( \displaystyle {{k}}^{{0}} \)(mod43)\( \displaystyle \equiv \)1(mod43) da cui ho
1+x-36=0 <=> x=35 ( che è soluzione in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{43}} \) giusto?
Però questo procedimento non dice nullacirca l'esistenza della radice, posso dunque trovarmi in una situazione in cui,ottengo un possibile valore, ma quel valore, non è radice del polinomio,giusto?

[maurer]

No, no ti dice proprio tutto. Scusa eh: fissa \( \displaystyle k \in \mathbb Z_{43} \) , qualsiasi. Appurato che \( \displaystyle k = 0 \) non è soluzione della tua equazione, possiamo supporre \( \displaystyle k \ne 0 \) e quindi applicare Fermat: \( \displaystyle k^{3528} + k - 36 = 1 + k - 36 = k -35 \) . Quindi il primo membro è zero se e solo se lo è l'ultimo e pertanto ottieni che \( \displaystyle k = 35 \) è l'unica soluzione!

[Kashaman]

ora mi è tutto piu chiaro grazie mille!

[maurer]

Prego!