Radici quadrate e numeri primi

[carlo23]

Questo è un non troppo difficile problema.

Dimostrare che l'equazione \( \displaystyle \sqrt{{{x}}}+\sqrt{{{y}}}=\sqrt{{{p}}} \) non ha soluzioni con \( \displaystyle {x},{y} \) numeri interi \( \displaystyle \gt{0} \) se \( \displaystyle {p} \) è un numero primo.

Ciao!

[Giusepperoma]

caso 1

x e y quadrati perfetti (rispettivamente di a e b)

a+b=sqrt(p)

assurdo

caso 2

nessuno fra x e y e' un quadrato perfetto ma lo e' il loro prodotto.

questo significa che i numeri sono della forma

x=a^n*b^f

y = a^(2k-n)*b^(2q-f)

quadrando si avrebbe

a^n*b^f + a^(2k-n)*b^(2q-f) +2*a^k*b^q = p

allora (nel caso n e b fosseo gli esponenti minori)

a^n*b^f*[1+a^(2k-2n)*b^(2q-2f)+2*a^(k-n)*b^(q-f)] = p

ovvero avrei trovato una fattorializzazione di un primo... assurdo

caso 3

x e y non sono quadrati perfetti, ne' lo e' il loro prodotto

quadriamo...

x + y + 2sqrt(xy) = p

da cui

sqrt(xy) = (p - x - y)/2

ma se xy non e' un quadrato perfetto la sua radice e' irrazionale... ASsurdo!

caso 4

uno solo fra x e y e' un quadrato perfetto

si verifica in modo analogo al caso 3

[carlo23]

caso 1....si verifica in modo analogo al caso 3

Bravo! è giusto

[Giusepperoma]

grazie...

l'avevi risolto allo stesso modo?

[carlo23]

grazie...

l'avevi risolto allo stesso modo?

Si, ero solo stato più sintetico.

Abbiamo \( \displaystyle {x}+{2}\sqrt{{{x}{y}}}+{y}={p} \) da cui \( \displaystyle {x}{y} \) deve essere un quadrato perfetto, ci sono due casi: \( \displaystyle {x} \) e \( \displaystyle {y} \) sono quadrati perfetti,
ma allora si ha

\( \displaystyle {x}={{a}}^{{2}},{y}={{b}}^{{2}} \) e quindi \( \displaystyle {{a}}^{{2}}+{2}{a}{b}+{{b}}^{{2}}={p}={{\left({a}+{b}\right)}}^{{2}} \) che è impossibile

oppure \( \displaystyle {x} \) e \( \displaystyle {y} \) non sono quadrati perfetti e \( \displaystyle \sqrt{{{x}{y}}} \) è intero, ma allora segue che \( \displaystyle {M}{C}{D}{\left({x},{y}\right)}\gt{1} \) e detto \( \displaystyle {q} \) un numero primo che divida \( \displaystyle {M}{C}{D}{\left({x},{y}\right)} \) allora \( \displaystyle {q} \) divide \( \displaystyle \sqrt{{{x}{y}}} \) e quindi \( \displaystyle {x}+\sqrt{{{x}{y}}}+{y}={p} \) può essere primo solo se \( \displaystyle {q}={p} \) ma ciò non soddisfa l'uguaglianza.

Ciao!