Rapporto molteplicità algebrica-geometrica.

[billytalentitalianfan]

Come si dimostra che la m.algebrica è\( \displaystyle \ge \) di quella geometrica?

[dissonance]

Hai provato a fare una ricerca sul forum? Se ne è parlato varie volte.

[billytalentitalianfan]

Ciao!

Dopo il tuo "invito" ho cercato un po' nell'archivio..mi è comparsa solo qualche domanda posta da altri utenti cui non è stata data risposta!

[Paola90]

Ciao! Provo ad azzardare una dimostrazione, ma non sarebbe male se qualcuno mi correggesse, proprio la conclusione non mi convince!
E' una dimostrazione per assurdo, supponi che \( \displaystyle {m}{g{{\left(\lambda_{{0}}\right)}}}\gt{m}{a}{\left(\lambda_{{0}}\right)} \). Sappiamo che \( \displaystyle {V}{\left(\lambda_{{0}}\right)} \) ha come base \( \displaystyle {\left({v}_{{1}},\ldots,{v}_{{k}}\right)} \), dove \( \displaystyle {k}={m}{g{{\left(\lambda_{{0}}\right)}}} \), completiamo ora questa base in modo che sia una base per lo spazio vettoriale \( \displaystyle {V} \) di dimensione \( \displaystyle {n} \), avremo quindi la base \( \displaystyle {\left({v}_{{1}},\ldots,{v}_{{k}},{g}_{{1}},\ldots,{g}_{{{n}-{k}}}\right)} \). Ora scriviamo la matrice associata a \( \displaystyle {f} \) rispetto a questa nuova base, e ne calcoliamo il determinante, ottenendo il polinomio caratteristico in \( \displaystyle \lambda \): \( \displaystyle {P}{\left(\lambda\right)}={{\left(\lambda-\lambda_{{0}}\right)}}^{{k}}{Q}{\left(\lambda\right)} \), ora si tratta solo di sfruttare le informazioni che questo polinomio ci dà. Sappiamo che (per ipotesi) \( \displaystyle {m}{g{{\left(\lambda_{{0}}\right)}}}\gt{m}{a}{\left(\lambda_{{0}}\right)} \), ma dal polinomio vediamo che la molteplicità algebrica di \( \displaystyle \lambda \) é almeno \( \displaystyle {k} \) (dico almeno perchè potrebbe essere radice anche del polinomio \( \displaystyle {Q}{\left(\lambda\right)} \) che non sappiamo cosa effettivamente sia), ma questo è assurdo, stiamo dicendo che \( \displaystyle {k} \) è maggiore della molteplicità algebrica di \( \displaystyle \lambda_{{0}} \) (mentre dovrebbe corrispondere a ques'ultima, ma per ipotesi è stato posto strettamente maggiore).

Lo ammetto, non sono per niente convinta che questa cosa che ho detto alla fine abbia senso....

[Sergio]

Ciao! Provo ad azzardare una dimostrazione, ma non sarebbe male se qualcuno mi correggesse, proprio la conclusione non mi convince!
E' una dimostrazione per assurdo

Per assurdo? Non ne sono convinto. Comunque direi che ci sei...

Partiamo dall'inizio.
Sia \( \displaystyle {f{:}}{V}\to{V} \) un operatore lineare e sia \( \displaystyle \lambda \) un autovalore per \( \displaystyle {f} \).
Esiste quindi almeno un vettore \( \displaystyle {v}\ne{0} \) tale che \( \displaystyle {f{{\left({v}\right)}}}=\lambda{v} \), quindi \( \displaystyle {v}\in{V}_{{\lambda}} \) e \( \displaystyle \text{dim }\ {V}_{{\lambda}}\ge{1} \).
Sia \( \displaystyle {\left\lbrace{\left({v}_{{1}},\ldots,{v}_{{k}}\right)}\right.} \) una base di \( \displaystyle {V}_{{\lambda}} \), con \( \displaystyle {k}={m}_{{g{{\left(\lambda\right)}}}}\ge{1} \), e sia \( \displaystyle {\left\lbrace{v}_{{{k}+{1}}},\ldots,{v}_{{n}}\right\rbrace} \) il suo completamento a una base \( \displaystyle {B} \) di \( \displaystyle {V} \).
Poiché \( \displaystyle {f{{\left({v}_{{i}}\right)}}}=\lambda{v}_{{i}} \) per \( \displaystyle {i}\le{k} \) e \( \displaystyle {f{{\left({v}_{{j}}\right)}}}={\sum_{{{i}={1}}}^{{n}}}{a}_{{{i}{j}}}{v}_{{i}} \) per \( \displaystyle {j}\gt{k} \), la matrice associata a \( \displaystyle {f} \) rispetto alla base \( \displaystyle {B} \) è:
\( \displaystyle {A}={\left({\left(\lambda,{0},\ldots,{0},{a}_{{{1},{k}+{1}}},\ldots,{a}_{{{1},{n}}}\right)},{\left({0},\lambda,\ldots,{0},{a}_{{{2},{k}+{1}}},\ldots,{a}_{{{2},{n}}}\right)},{\left(\ldots,\ldots,\ldots,\ldots,\ldots,\ldots,\ldots\right)},{\left({0},{0},\ldots,\lambda,\ldots,\ldots,\ldots\right)},{\left(\ldots,\ldots,\ldots,\ldots,\ldots,\ldots,\ldots\right)},{\left({0},{0},\ldots,{0},{a}_{{{n},{k}+{1}}},\ldots,{a}_{{{n},{n}}}\right)}\right)} \)
Il polinomio caratteristico è del tipo \( \displaystyle {{\left(\lambda-{t}\right)}}^{{k}}{Q}{\left({t}\right)} \). Ad esempio, se \( \displaystyle {k}={2} \) e \( \displaystyle {n}={4} \):
\( \displaystyle {\left|\matrix{\lambda-{t}&{0}&{a}&{b}\\{0}&\lambda-{t}&{c}&{d}\\{0}&{0}&{e}-{t}&{f}\\{0}&{0}&{g}&{h}-{t}}\right|}={\left(\lambda-{t}\right)}{\left|\matrix{\lambda-{t}&{c}&{d}\\{0}&{e}-{t}&{f}\\{0}&{g}&{h}-{t}}\right|}={{\left(\lambda-{t}\right)}}^{{2}}{Q}{\left({t}\right)},\ \text{ }\ {Q}{\left({t}\right)}={\left|\matrix{{e}-{t}&{f}\\{g}&{h}-{t}}\right|} \)
Ma \( \displaystyle {Q}{\left({t}\right)} \) può essere qualsiasi, in particolare può contenere \( \displaystyle \lambda-{t} \) tra i suoi fattori, quindi \( \displaystyle {m}_{{a}}{\left(\lambda\right)}\ge{k}={m}_{{g{{\left({l}{a}{m}{n}{d}{a}\right)}}}}\ge{1} \).