Rappresentazione dei vettori nei cambiamenti di base

[Balthasar]

Premetto che la mia è una domanda a dir poco elementare e forse anche stupida...aggiungo che è la classica domanda fatto quando si è disorientati dalla materia, e si cerca di fare ordine: il mio obiettivo sarebbe quello di comprendere e apprezzare la matematica, non esserne un semplice fruitore (come ormai è uso e costume in parecchie facoltà scientifiche), e ciò è dettato non solo dalla curiosità, ma da un puro e sincero fascino nei confronti della disciplina.

Fatti i "convenevoli", la domanda è questa:

Il mio libro riporta i vettori attraverso una rappresentazione "a colonna" ( ad esempio: \( \displaystyle {\left(\matrix{{a}\\{b}}\right)} \)) nel capitolo sui cambiamenti di base, in modo che poi vengano moltiplicati per una matrice di passaggio.

Ciò è dettato da una determinata esigenza, oppure è una semplice convenzione?

[dissonance]

La rappresentazione dei vettori in colonna e del prodotto matrice x vettore come righe x colonne è comoda perché permette di rappresentare le applicazioni lineari in maniera intuitiva: se \( \displaystyle {f{:}}{{K}}^{{n}}\to{{K}}^{{m}} \) è lineare, allora esiste un'unica matrice \( \displaystyle {A} \) di \( \displaystyle {m} \) righe e \( \displaystyle {n} \) colonne tale che

\( \displaystyle {f{{\left({v}\right)}}}={A}{v} \) per ogni \( \displaystyle {v}\in{{K}}^{{n}} \).

Se avessimo voluto rappresentare i vettori in riga, avremmo ottenuto una rappresentazione come

\( \displaystyle {f{{\left({v}\right)}}}={v}{B} \) per ogni \( \displaystyle {v}\in{{K}}^{{n}} \).

Naturalmente tutto è vincolato al fatto che il prodotto di matrici si fa righe x colonne. Se lo avessimo definito colonne x righe, sarebbe stato esattamente il contrario. Sono solo convenzioni, e meno male che grossomodo sono adottate da tutti sennò sai che casino.