rect e delta di dirac

[gaiaslide]

nel libro vi è scritto quel passaggio
non riesco a capire proprio perchè

[Ska]

Questa cosa è possibile solo se in mezzo c'è una convoluzione con una delta di dirac, infatti \( \displaystyle x(t) * \delta(t-a) = x(t-a) \)

Intuitivamente \( \displaystyle x(t) * \delta(t-a) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\delta(t-\tau -a)d\tau = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\delta((t-a)-\tau)d\tau = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t-a)\delta(t-\tau -a)d\tau = x(t-a)\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-\tau -a)d\tau = x(t-a) \cdot 1 \)

Come vedi all'interno dell'integrale è applicata la proprietà campionatrice della delta.

In maniera più formale, \( \displaystyle \delta_a = \delta(x-a) \) è quella distribuzione definita come \( \displaystyle <\delta_a,v> = v(a)\quad\forall v \in \mathcal{D}(\Omega) \) , da cui \( \displaystyle \forall w \in C^{\infty} \) si ha che \( \displaystyle \forall v \in \mathcal{D}(\Omega)\quad = <\delta_a, wv> = (w\cdot v)(a) = \) da cui appunto si ricava \( \displaystyle w(x)\delta(x-a) = w(a)\delta(x-a) \) .

[gaiaslide]

ok ska
il libro è un pò sbiadito mi sa che di mezzo cè lo zampino di una convoluzione.
ma se così fosse , tramite \( \displaystyle {x}{\left({t}\right)}\cdot\delta{\left({t}-{a}\right)}={x}{\left({t}-{a}\right)} \)
non dovrebbe venire
\( \displaystyle {Z}{\left({f}\right)}={r}{e}{c}{t}{\left({\frac{{{f}}}{{{T}}}}\right)}\cdot{\left[{\frac{{{j}}}{{{2}}}}\delta{\left({f{-}}{\frac{{{T}}}{{{2}}}}\right)}-{\frac{{{j}}}{{{2}}}}\delta{\left({f{+}}{\frac{{{T}}}{{{2}}}}\right)}\right]}=-\frac{{j}}{{2}}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{f}}{{T}}-{\left(\frac{{T}}{{2}}\right)}\right)}+\frac{{j}}{{2}}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{f}}{{T}}+{\left(\frac{{T}}{{2}}\right)}\right)} \) ? invece che:
\( \displaystyle {Z}{\left({f}\right)}={r}{e}{c}{t}{\left({\frac{{{f}}}{{{T}}}}\right)}\cdot{\left[{\frac{{{j}}}{{{2}}}}\delta{\left({f{-}}{\frac{{{T}}}{{{2}}}}\right)}-{\frac{{{j}}}{{{2}}}}\delta{\left({f{+}}{\frac{{{T}}}{{{2}}}}\right)}\right]}=-\frac{{j}}{{2}}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{f}}{{T}}-{\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}\right)}+\frac{{j}}{{2}}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{f}}{{T}}+{\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}\right)} \) ?

per quanto riguarda invece l'uscita \( \displaystyle {Y}{\left({f}\right)}={\left[-\frac{{j}}{{2}}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{f}}{{T}}-{\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}\right)}+\frac{{j}}{{2}}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{f}}{{T}}+{\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}\right)}\right]}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{f}}{{T}}\right)} \) ho notato dai grafici che la sua antitrasformata è composta da \( \displaystyle {\left[\frac{{{\sin{\pi}}{\left(\frac{{T}}{{2}}\right)}{t}}}{{\pi{t}}}\right]}{s}{e}{n}{\left(\pi{\left(\frac{{t}}{{2}}\right)}{t}\right]} \)

[Ska]

Se fosse un prodotto di convoluzione allora \( \displaystyle rect(\frac{f}{T}) * \delta(f -\frac{T}{2}) = rect(\frac{f-\frac{T}{2}}{T}) = rect(\frac{f}{T} - \frac{1}{2}) \)

L'antitrasformata mi sembra corretta.

[gaiaslide]

perfetto!grazie ska per la chiarezza e la gentilezza.