rect e delta di dirac

[gaiaslide]

mi servirebbe capire a cosa equivalgono:
Y(f)=X(f)Z(f)
rect(f1/2)rect(f1/2)
e soprattutto
rect(f1/2)\delta((f-1/3))

[Ska]

a) dov'è la convoluzione?
b) il passaggio che hai fatto ha qualcosa di sbagliato (la delta in un prodotto semplice campiona il segnale)

[gaiaslide]

si hai ragione
dunque Y(f) è l'uscita del sistema \( \displaystyle {X}{\left({f}\right)}={r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{f}}{{b}}\right)} \) e H(f)=alla parte di Z(f) tra parentesi quadre

[gaiaslide]

forse è meglio partire dalla radice:
quando mi trovo di fronte ad un \( \displaystyle {X}{\left({f}\right)}={r}{e}{c}{t}{\left({f{{T}}}\right)}\delta{\left({f{-}}\frac{{1}}{{2}}\right)} \) cosa viene?

[gaiaslide]

mi servirebbe capire a cosa equivalgono:
Y(f)=X(f)Z(f)
\( \displaystyle {r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{f}}{{2}}\right)}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{f}}{{2}}\right)} \)
e soprattutto
\( \displaystyle {r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{f}}{{2}}\right)}\delta{\left({\left({f{-}}\frac{{1}}{{3}}\right)}\right)} \)

[Ska]

Ok, ho capito, stai studiando la risposta di un sistema LTI in frequenza.

Hai detto che \( \displaystyle X(f) = rect(\frac{f}{b}) \) e che \( \displaystyle H(f) = rect(\frac{f}{2}) + \delta(f - \frac{1}{3}) \)

La trasformata dell'uscita risulta essere \( \displaystyle Y(f) = X(f)H(f) = rect(\frac{f}{b}) \Bigl[rect(\frac{f}{2}) + \delta(f - \frac{1}{3})\Bigr ] = \)

Ora \( \displaystyle rect(\frac{f}{2}) rect(\frac{f}{b}) \) dipende da quanto vale \( \displaystyle b \) , infatti questi rappresentano due rettangoli centrati in \( \displaystyle {0} \) uno largo \( \displaystyle 2 \) e l'altro largo \( \displaystyle b \) , dunque il prodotto tra questi è quello più stretto.

\( \displaystyle rect(\frac{f}{2}) \delta(f - \frac{1}{3}) \) invece qui bisogna applicare la proprietà della delta di dirac, in un prodotto questa "campiona" il segnale che vi è moltiplicato nel punto in cui è centrata, in questo caso \( \displaystyle rect(\frac{1/3}{2}) \delta(f - \frac{1}{3}) = rect(1/6)\delta(f - \frac{1}{3}) = \delta(f- \frac{1}{3}) \)

Spero di aver interpretato correttamente il problema.

[gaiaslide]

ska millegrazie per la chiarezza e precisione però non riesco ad adattarlo
al mio caso: \( \displaystyle {r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{f}}{{T}}{\left[\frac{{j}}{{2}}\delta{\left({f{-}}{\left(\frac{{T}}{{2}}\right)}\right)}-\frac{{j}}{{2}}\delta{\left({f{+}}{\left(\frac{{T}}{{2}}\right)}\right)}\right]}\right.} \) perchè \( \displaystyle =-\frac{{j}}{{2}}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{f}}{{T}}-{\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}\right)}+\frac{{j}}{{2}}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{f}}{{T}}+{\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}\right)} \)?
eppoi per ultima cosa sempre inerente perchè \( \displaystyle {Z}{\left({f}\right)}={\left[-\frac{{j}}{{2}}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{f}}{{T}}-{\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}\right)}+\frac{{j}}{{2}}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{f}}{{T}}+{\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}\right)}\right]}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{f}}{{T}}\right)}= \)un rettangolo due impulsi in +-T=T/2 ?
oddio sto diventando davvero pesante

[Ska]

\( \displaystyle {r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{f}}{{T}}{\left[\frac{{j}}{{2}}\delta{\left({f{-}}{\left(\frac{{T}}{{2}}\right)}\right)}-\frac{{j}}{{2}}\delta{\left({f{+}}{\left(\frac{{T}}{{2}}\right)}\right)}\right]}\right.} \)

Se questa corrisponde a \( \displaystyle rect(\frac{f}{T})\cdot [\frac{j}{2}\delta(f-\frac{T}{2})-\frac{j}{2}\delta(f+\frac{T}{2})] \) allora non può essere uguale a quanto dici tu

\( \displaystyle =-\frac{{j}}{{2}}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{f}}{{T}}-{\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}\right)}+\frac{{j}}{{2}}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{f}}{{T}}+{\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}\right)} \)

per avere questo risultato, ci deve essere una convoluzione tra il rect e le due delta!

\( \displaystyle {Z}{\left({f}\right)}={\left[-\frac{{j}}{{2}}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{f}}{{T}}-{\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}\right)}+\frac{{j}}{{2}}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{f}}{{T}}+{\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}\right)}\right]}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{f}}{{T}}\right)}= \)un rettangolo due impulsi in +-T=T/2 ?

Qui non ho capito proprio la domanda, la prima parte stai finestrando i due rect larghi \( \displaystyle {T} \) centrati in \( \displaystyle \pm\frac{{T}}{{2}} \) con un rect centrato in zero largo \( \displaystyle {T} \), da cui risultano due rect centrati in \( \displaystyle \pm\frac{{T}}{{4}} \) larghi \( \displaystyle \frac{{T}}{{2}} \)

[gaiaslide]

Mi sono spiegata male,nel primo caso non si tratta di calcolare l'uscita del sistema ma è una semplice trasformata Z(f) e il mio dubbio era sul secondo passaggio
mi sembra di aver fatto correttamente \( \displaystyle {Z}{\left({f}\right)}={r}{e}{c}{t}{\left({\frac{{{f}}}{{{T}}}}\right)}\cdot{\left[{\frac{{{j}}}{{{2}}}}\delta{\left({f{-}}{\frac{{{T}}}{{{2}}}}\right)}-{\frac{{{j}}}{{{2}}}}\delta{\left({f{+}}{\frac{{{T}}}{{{2}}}}\right)}\right]}=-\frac{{j}}{{2}}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{f}}{{T}}-{\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}\right)}+\frac{{j}}{{2}}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{f}}{{T}}+{\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}\right)} \) perchè traslo il rettangolo di \( \displaystyle \delta{\left(\frac{{f}}{{T}}-{\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}\right)}\to{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{f}}{{T}}+{\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}\right)} \)ok?

\( \displaystyle {Z}{\left({f}\right)}={\left[-\frac{{j}}{{2}}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{f}}{{T}}-{\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}\right)}+\frac{{j}}{{2}}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{f}}{{T}}+{\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}\right)}\right]}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{f}}{{T}}\right)}= \)un rettangolo due impulsi in +-T=T/2 ?

Qui invece si tratta di trovare l'uscita \( \displaystyle {Y}{\left({f}\right)}={\left[-\frac{{j}}{{2}}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{f}}{{T}}-{\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}\right)}+\frac{{j}}{{2}}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{f}}{{T}}+{\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}\right)}\right]}{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{f}}{{T}}\right)} \)

[Ska]

No, la delta di dirac nel prodotto semplice non trasla, ma campiona \( \displaystyle {x}{\left({t}\right)}\delta{\left({t}-{a}\right)}={x}{\left({a}\right)}\delta{\left({t}-{a}\right)} \)!