mi trovo a dover trovare il vincolo sul passo di discretizzazione affinchè ci sia assoluta stabilità per il metodo di Eulero esplicito per la seguente equazione differenziale:
\( \displaystyle \frac{{{d}{p}}}{{\left.{d}{t}\right.}}=−\frac{{{p}{\left({t}\right)}}}{{{R}{C}}}+\frac{{{q}{\left({t}\right)}}}{{C}} \)
\( \displaystyle ∀{t}∈{I}={\left[{a},{b}\right]} \)
nella quale \( \displaystyle {q}{\left({t}\right)} \) è un treno di impulsi rettangolari di periodo T.
Per farlo ho scritto l'equazione dopo aver discretizzato il dominio con passo h, usando la formula di Eulero:
\( \displaystyle {p}_{{{i}+{1}}}={p}_{{i}}\cdot{\left({1}-\frac{{h}}{\tau}\right)}+{h}\cdot\frac{{q}_{{i}}}{{C}} \)
dove ho posto \( \displaystyle \tau={R}\cdot{C} \)
Dopodichè ho detto che \( \displaystyle \lambda={\left({1}-\frac{{h}}{\tau}\right)} \) è un autovalore e affinché la mia soluzione numerica sia limitata deve essere:
\( \displaystyle {\left|\lambda\right|}\lt{1} \)
da cui considerando che \( \displaystyle \tau\gt{0} \),\( \displaystyle {h}\gt{0} \),\( \displaystyle \lambda\lt{0} \) cioè \( \displaystyle {h}\gt\tau \) ottengo:
\( \displaystyle \tau\lt{h}\lt\frac{{\tau+\sqrt{{{\tau}^{{2}}+{8}\cdot\tau}}}}{{2}} \)
Provando a implementare il metodo di Eulero con Matlab ottengo però delle instabilità per valori di h interni a quell'intervallo e delle stabilità per valori esterni. Immagino quindi che sia sbagliato il procedimento con cui ho trovato quell'intervallo di valori per h,ma non riesco a capire cosa è sbagliato
Qualcuno riesce a darmi una mano?
