Relazione d'equivalenza con insieme quoziente ordine 3

[Asdomar]

Salve!
Sono uno studente universitario e ho svolto da poco l'esame di matematica discreta!
Uno degli esercizi d'esame era il seguente:

Nell'insieme N, si definisca una relazione d'equivalenza R in modo che l'insieme quoziente N/R abbia ordine 3 e solo una classe di equivalenza sia finita.

è l'unico esercizio che non ho svolto di tutto l'esame scritto...quindi me lo chiederà all'orale
Qualcuno sa darmi qualche suggerimento?
Grazie in anticipo!

[Pappappero]

Una relazione di equivalenza può essere data semplicemente definendo brutalmente gli elementi in relazione tra loro. In questo modo vengono fuori relazioni "brutte" che però possono avere le proprietà più strane.

[Asdomar]

Ad esempio potrei definire una relazione del genere:

aRb -> a,b=1 o a,b sono pari, a,b sono dispari.
Ottenendo così un insieme quoziente N/R={[1]R,[2]R,[3]R} con [2]R contenente tutti i numeri pari e [3]R contenente tutti i dispari. è giusta come cosa?

[Pappappero]

Può andare...ricordati che \( \displaystyle {1} \) è un numero dispari, quindi devi modificare un po' la definizione, però l'idea è giusta.

[Asdomar]

ok la ridefinisco così

aRb <-> a,b=1 o a,b=2*n o a,b=2*n+1 con n appartenente ad N

così dovrebbe darmela buona giusto?

[Pappappero]

mmm...che praticamente dice la stessa cosa di prima...

io la direi in modo molto più semplice:

aRb se e solo se: \( \displaystyle {a}={b}={1} \), oppure \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \) sono entrambi pari, oppure \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \) sono dispari e diversi da \( \displaystyle {1} \).