relazione tra gruppi e funzione di Eulero

[deserto]

Avrei una coppia di esercizi, sempre reperiti in internet, da sottoporvi.
1) Sia \( \displaystyle {G} \) un gruppo finito. Dimostrare che per ogni \( \displaystyle {n}\gt{0} \), il numero di elementi di \( \displaystyle {G} \) che hanno ordine uguale ad \( \displaystyle {n} \) è un multiplo di \( \displaystyle \phi{\left({n}\right)} \), dove \( \displaystyle \phi \) è la funzione di Eulero.
2) Sia \( \displaystyle {G} \) un gruppo abeliano finito di ordine \( \displaystyle {n} \). Dimostrare che l'ordine di \( \displaystyle {A}{u}{t}{\left({G}\right)} \) è un multiplo di \( \displaystyle \phi{\left({n}\right)} \)

Per la soluzione di 1) avrei pensato a considerare l'insieme \( \displaystyle {H}={\left\lbrace{g{\in}}{G};{{g}}^{{n}}={e}\right\rbrace} \). Si prova immediatamente che \( \displaystyle {H} \) è un sottogruppo di \( \displaystyle {G} \). In tale caso l'esercizio si riduce a provare che \( \displaystyle {o}{\left({H}\right)}={k}\phi{\left({n}\right)} \) con \( \displaystyle {k} \) costante eventualmente dipendente da \( \displaystyle {n} \) stesso. Come si potrebbe continuare?

Per il punto 2) invece potrei osservare che se \( \displaystyle {G} \) è del tipo \( \displaystyle {{C}_{{p}}^{{m}}} \) allora è \( \displaystyle {A}{u}{t}{\left({G}\right)}\stackrel{\sim}{=}{G}{L}{\left({m},{p}\right)} \) da cui, essendo \( \displaystyle {o}{\left({G}{L}{\left({m},{p}\right)}\right)}={\left({{p}}^{{m}}-{1}\right)}{\left({{p}}^{{m}}-{p}\right)}{\left({{p}}^{{m}}-{{p}}^{{2}}\right)}\cdot\ldots\cdot{\left({{p}}^{{m}}-{{p}}^{{{m}-{2}}}\right)}{\left({{p}}^{{m}}-{{p}}^{{{m}-{1}}}\right)}= \)
\( \displaystyle ={\left({{p}}^{{m}}-{1}\right)}{\left({{p}}^{{m}}-{p}\right)}{\left({{p}}^{{m}}-{{p}}^{{2}}\right)}\cdot\ldots\cdot{\left({{p}}^{{m}}-{{p}}^{{{m}-{2}}}\right)}\phi{\left({{p}}^{{m}}\right)} \). Ma non riesco a generalizzare a un gruppo abeliano qualsiasi.

Grazie per gli eventuali contributi.

[NightKnight]

avrei pensato a considerare l'insieme \( \displaystyle {H}={\left\lbrace{g{\in}}{G};{{g}}^{{n}}={e}\right\rbrace} \). Si prova immediatamente che \( \displaystyle {H} \) è un sottogruppo di \( \displaystyle {G} \). In tale caso l'esercizio si riduce a provare che \( \displaystyle {o}{\left({H}\right)}={k}\phi{\left({n}\right)} \) con \( \displaystyle {k} \) costante eventualmente dipendente da \( \displaystyle {n} \) stesso.

Attento! \( \displaystyle {H}={\left\lbrace{g{\in}}{G}{\mid}{{g}}^{{n}}={e}\right\rbrace} \) non è l'insieme degli elementi di ordine \( \displaystyle {n} \), ma l'insieme degli elementi con ordine che divide \( \displaystyle {n} \).

Per 1) potresti osservare che scelto un qualsiasi \( \displaystyle {g{\in}}{G} \) di ordine \( \displaystyle {n} \), allora tra le sue potenze trovi esattamente \( \displaystyle \phi{\left({n}\right)} \) elementi di ordine \( \displaystyle {n} \). Perché?

Per 2) ti serve il teorema di struttura dei gruppi abeliani: grazie a questo teorema puoi decomporre il tuo gruppo come somma diretta di sottogruppi di ordine una potenza di un primo (si chiamano componenti primarie); si può provare che ogni componente primaria è caratteristica nel gruppo, ossia è lasciata fissa da ogni automorfismo del gruppo. Questo permette di decomporre il gruppo degli automorfismi del gruppo dato come prodotto diretto dei gruppi di automorfismi delle componenti primarie.
Conoscendo la moltiplicatività della \( \displaystyle \phi \) di Eulero, il problema è ricondotto a contare gli automorfismi di una componente primaria, ossia di un \( \displaystyle {p} \)-gruppo abeliano.

[Martino]

avrei pensato a considerare l'insieme \( \displaystyle {H}={\left\lbrace{g{\in}}{G};{{g}}^{{n}}={e}\right\rbrace} \). Si prova immediatamente che \( \displaystyle {H} \) è un sottogruppo di \( \displaystyle {G} \). In tale caso l'esercizio si riduce a provare che \( \displaystyle {o}{\left({H}\right)}={k}\phi{\left({n}\right)} \) con \( \displaystyle {k} \) costante eventualmente dipendente da \( \displaystyle {n} \) stesso.

Attento! \( \displaystyle {H}={\left\lbrace{g{\in}}{G}{\mid}{{g}}^{{n}}={e}\right\rbrace} \) non è l'insieme degli elementi di ordine \( \displaystyle {n} \), ma l'insieme degli elementi con ordine che divide \( \displaystyle {n} \).

E tra l'altro non è un sottogruppo, in generale

[deserto]

In questi giorni ci ho pensato senza però arrivare ad un risultato definitivo.

In effetti a proposito di questa affermazione

\( \displaystyle {H}={\left\lbrace{g{\in}}{G};{{g}}^{{n}}={e}\right\rbrace} \). Si prova immediatamente che \( \displaystyle {H} \) è un sottogruppo di \( \displaystyle {G} \).

ho fatto molta confusione ... con quella scrittura intendevo comunque considerare solo il più piccolo \( \displaystyle {n} \) naturale tale che \( \displaystyle {{g}}^{{n}}={1} \) ma non l'avevo specificato, in tale caso poi \( \displaystyle {H} \) non potrebbe proprio essere un gruppo perchè nel caso \( \displaystyle {n}\gt{1} \) non vi apparterrebbe l'elemento neutro.

Ho provato ad applicare il testo dell'esercizio ad un caso concreto:
\( \displaystyle {G}={\left\lbrace{e},\theta,{a},{b},{c},\theta{a},\theta{b},\theta{c}\right\rbrace} \) gruppo delle unità dei quaternioni, dove \( \displaystyle {{a}}^{{2}}={{b}}^{{2}}={{c}}^{{2}}=\theta \), \( \displaystyle {{\left(\theta\right)}}^{{2}}={e} \), \( \displaystyle {a}{b}=\theta{b}{a}={c},{b}{c}=\theta{c}{b}={a},{c}{a}=\theta{a}{c}={b} \)
Qui si ha: \( \displaystyle {o}{\left({e}\right)}={1} \) e infatti \( \displaystyle \phi{\left({1}\right)}={1} \)
\( \displaystyle {o}{\left(\theta\right)}={2} \) e \( \displaystyle \phi{\left({2}\right)}={1} \)
\( \displaystyle {o}{\left({a}\right)}={o}{\left({b}\right)}={o}{\left({c}\right)}={o}{\left(\theta{a}\right)}={o}{\left(\theta{b}\right)}={o}{\left(\theta{c}\right)}={4} \) e \( \displaystyle \phi{\left({4}\right)}={2} \) che è proprio un divisore del numero di elementi che hanno ordine \( \displaystyle {4} \).
Per quello che riguarda, ad esempio, le potenze di \( \displaystyle {a} \), ho: \( \displaystyle {o}{\left({{a}}^{{1}}\right)}={4} \), \( \displaystyle {o}{\left({{a}}^{{2}}\right)}={o}{\left(\theta\right)}={2} \), \( \displaystyle {o}{\left({{a}}^{{3}}\right)}={o}{\left(\theta{a}\right)}={4} \), \( \displaystyle {o}{\left({{a}}^{{4}}\right)}={1} \) e tra queste potenze trovo esattamente \( \displaystyle \phi{\left({2}\right)} \) elementi di ordine \( \displaystyle {4} \): \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {{a}}^{{3}} \).

Ho provato anche ad applicare il risultato a \( \displaystyle {S}_{{3}} \) e tornano i conti.

Purtroppo non riesco a generalizzare. Riuscite a darmi qualche altro suggerimento? Grazie.

[deserto]

Riesumo questo post ...

Per 1) potresti osservare che scelto un qualsiasi \( \displaystyle {g{\in}}{G} \) di ordine \( \displaystyle {n} \), allora tra le sue potenze trovi esattamente \( \displaystyle \phi{\left({n}\right)} \) elementi di ordine \( \displaystyle {n} \). Perché?

Se \( \displaystyle {g{\in}}{G} \) ha ordine \( \displaystyle {n} \) posso considerare il gruppo ciclico così costituito: \( \displaystyle {{G}}^{'}={\left\lbrace{e},{g},{{g}}^{{2}},\ldots,{{g}}^{{{n}-{1}}}\right\rbrace} \), esso ha ordine \( \displaystyle {n} \) e contiene esattamente \( \displaystyle \phi{\left({n}\right)} \) elementi di ordine \( \displaystyle {n} \).

Sia \( \displaystyle {h}\in{G} \) con \( \displaystyle {h}\notin{{G}}^{'} \) un altro elemento di ordine \( \displaystyle {n} \); anche qui considero il gruppo ciclico \( \displaystyle {{G}}^{{{''}}}={\left\lbrace{e},{h},{{h}}^{{2}},\ldots,{{h}}^{{{n}-{1}}}\right\rbrace} \) e anch'esso contiene esattamente \( \displaystyle \phi{\left({n}\right)} \) elementi di ordine \( \displaystyle {n} \) che sono diversi da quelli presenti in \( \displaystyle {{G}}^{'} \).

Adesso sia \( \displaystyle {k}\in{G} \) con \( \displaystyle {k}\notin{{G}}^{'}\cup{{G}}^{{{''}}} \) e di ordine \( \displaystyle {n} \), considerato \( \displaystyle {{G}}^{{{'''}}}={\left\lbrace{e},{k},{{k}}^{{2}},\ldots,{{k}}^{{{n}-{1}}}\right\rbrace} \), esso contiene esattamente \( \displaystyle \phi{\left({n}\right)} \) elementi di ordine \( \displaystyle {n} \) che sono diversi da quelli presenti in \( \displaystyle {{G}}^{'}\cup{{G}}^{{{''}}} \).

Procedendo in questo modo si "consumano" tutti gli elementi di ordine \( \displaystyle {n} \) essendo \( \displaystyle {G} \) di ordine finito, e si ottiene proprio che essi sono in numero di un multiplo di \( \displaystyle \phi{\left({n}\right)} \), ossia \( \displaystyle \exists{c}\in\mathbb{N} \) tale che \( \displaystyle {c}\phi{\left({n}\right)} \) è il numero cercato.

E' possibile dire qualcosa su questa costante \( \displaystyle {c} \)?

Grazie