Si consideri la relazione R sull'insieme Z dei numeri interi relativi de finita,
per ogni \(x, y \in Z\), da
\(xRy\) se e solo se esiste \(k \in Z\) tale che \(x = y + 9k\)
Dimostrare che R è una relazione d'equivalenza. Determinare
i) \([0]_R = \)
ii) \([1]_R = \)
iii) \([10]_R = \)
iv) \([81]_R = \)
Stabilire, infi ne, se è compatibile con l'addizione e con la moltiplicazione in Z.
Io sono arrivato solo a dimostrare che R è una relazione d'equivalenza (non che l'abbia proprio capito ma guardando un altro esercizio svolto!) in questo modo:
Innanzitutto una relazione è d'equivalenza quando è riflessiva, simmetrice e transitiva. Dunque:
Riflessiva
\(xRy \Leftrightarrow x \in Z\)
\(x \in Z \Leftrightarrow \exists k = 0 : x = x + 9 \cdot 0\)
Simmetrica
\(xRy, yRx\)
\(xRy \Leftrightarrow \exists k \in Z : x = y + 9k \Rightarrow -y = -x + 9k \Rightarrow y = x - 9k\)
\(yRx \Leftrightarrow \exists k \in Z : y = x + 9k \Rightarrow -x = -y + 9k \Rightarrow x = y - 9k\)
Transitiva
\(xRy, yRz \Rightarrow xRz\)
\(xRy \Leftrightarrow \exists k \in Z : x = y + 9k\)
\(yRz \Leftrightarrow \exists h \in Z : y = z + 9h\)
\(x = y + 9k \Rightarrow x = z + 9h + 9k \Rightarrow x = z + 9(k + h)\)
Fin qui è giusto?
Se si, come si procede con l'esercizio? Come di determinano le classi di equivalenza sopra citate? Come si dimostra la compatibilità con l'addizione e con il prodotto?
Vi ringrazio in anticipo!
