Relazioni: Ingettività, Surgettività

[Neptune]

Salve a tutti,
ho il segunente funzione:
\( \displaystyle {f{:}}\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Q} \)

Così definita:

\( \displaystyle \forall{x}\in\mathbb{N} \) \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}=\frac{{5}}{{{x}+{2}}} \)

Devo dimostrare che è ingettiva ma non surgettiva.

Per l'ingettività devo dimostrare questa formula:

\( \displaystyle \forall{x}_{{1}},{x}_{{2}}\in\mathbb{N} \) \( \displaystyle {f{{\left({x}_{{1}}\right)}}}={f{{\left({x}_{{2}}\right)}}} \) \( \displaystyle \rightarrow \) \( \displaystyle {x}_{{1}}={x}_{{2}} \)

Ovvero ponendo \( \displaystyle {f{{\left({x}_{{1}}\right)}}}={f{{\left({x}_{{2}}\right)}}} \) devo ottenere \( \displaystyle {x}_{{1}}={x}_{{2}} \)

quindi:

\( \displaystyle \frac{{5}}{{{x}_{{1}}+{2}}}=\frac{{5}}{{{x}_{{2}}+{2}}} \)

ovvero:

\( \displaystyle \frac{{1}}{{{x}_{{1}}+{2}}}=\frac{{1}}{{{x}_{{2}}+{2}}} \)

Ma arrivato qui mi blocco e non so come proseguire con i calcoli. Ho fatto qualcosa di sbagliato o semplicemente non mi sovviene il calcolo? (in tal caso voi come proseguireste?)

Vi ringrazio in anticipo per la cortesia,
Neptune.

[Gatto89]

\( \displaystyle \frac{{1}}{{{x}_{{1}}+{2}}}=\frac{{1}}{{{x}_{{2}}+{2}}} \)

Ma arrivato qui mi blocco e non so come proseguire con i calcoli. Ho fatto qualcosa di sbagliato o semplicemente non mi sovviene il calcolo? (in tal caso voi come proseguireste?)

Vi ringrazio in anticipo per la cortesia,
Neptune.

Fin qui è tutto giusto, segue semplicemente \( \displaystyle {x}_{{1}}+{2}={x}_{{2}}+{2} \) e quindi la tesi

In generale, se \( \displaystyle {x},{y}\ne{0} \) allora \( \displaystyle \frac{{1}}{{x}}=\frac{{1}}{{y}}\Leftrightarrow{x}={y} \).

Ora prova, per negare la suriettività, a trovare un controesempio

[Neptune]

\( \displaystyle \frac{{1}}{{{x}_{{1}}+{2}}}=\frac{{1}}{{{x}_{{2}}+{2}}} \)

Ma arrivato qui mi blocco e non so come proseguire con i calcoli. Ho fatto qualcosa di sbagliato o semplicemente non mi sovviene il calcolo? (in tal caso voi come proseguireste?)

Vi ringrazio in anticipo per la cortesia,
Neptune.

Fin qui è tutto giusto, segue semplicemente \( \displaystyle {x}_{{1}}+{2}={x}_{{2}}+{2} \) e quindi la tesi

In generale, se \( \displaystyle {x},{y}\ne{0} \) allora \( \displaystyle \frac{{1}}{{x}}=\frac{{1}}{{y}}\Leftrightarrow{x}={y} \).

Ora prova, per negare la suriettività, a trovare un controesempio

Cioè dici di negare la surgettività ovvero dimostrare che:

\( \displaystyle \exists{y}\in\mathbb{Q},\forall{x}\in\mathbb{N} \) t.c \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}\ne\frac{{5}}{{{x}+{2}}} \) ?

Non so a me sembra che \( \displaystyle {y}=\frac{{5}}{{{x}+{2}}} \) appartiene sempre ai numeri razionali per qualsiasi numero naturale possa dare ad \( \displaystyle {x} \), è evidente che mi sfugge qualcosa.

[mistake89]

quella che hai detto non è la definizione di surgettività infatti!
Surgettivo vuol dire in parole povere che di ogni elemento di \( \displaystyle \mathbb{Q} \) esiste la controimmagine... e ciò non è evidentemente vero prendere anche soltanto \( \displaystyle {0} \) o una qualsiasi frazione negativa

[Gatto89]

Una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di un elemento del dominio. Per negare quest'affermazione (ovvero dimostrare che la funzione non è suriettiva) basta trovare un controesempio, ovvero un elemento del codominio che non è preso da nessun elemento del dominio attraverso la funzione \( \displaystyle {f} \).

Tradotto: \( \displaystyle \exists{q}\in\mathbb{Q} \) t.c. \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}\ne{q}\forall{x}\in\mathbb{N} \)

[Neptune]

Una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di un elemento del dominio. Per negare quest'affermazione (ovvero dimostrare che la funzione non è suriettiva) basta trovare un controesempio, ovvero un elemento del codominio che non è preso da nessun elemento del dominio attraverso la funzione \( \displaystyle {f} \).

Tradotto: \( \displaystyle \exists{q}\in\mathbb{Q} \) t.c. \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}\ne{q}\forall{x}\in\mathbb{N} \)

In pratica posso dire che \( \displaystyle \exists{2}\in\mathbb{Q} \) che non si può scrivere nella formula \( \displaystyle \frac{{5}}{{{x}+{2}}} \). Giusto?

[WiZaRd]

@Neptune
Posso darti un consiglio? Evita di cercare di formalizzare troppo il tuo discorso con le formule logiche. Cerca di usare i simboli mutuati dalla logica come delle stenografie per sostituire le frasi di uso corrente, ovviamente attribuendo a queste frasi il senso che ne deriva dalle regole della logica. Perché? Perché fino a quando scrivi \( \displaystyle \exists 2 \in \mathbb{Q} \) sul forum non succede niente, ma se lo scrivi ad un esame ti bocciano seduta stante: i quantificatori non li puoi usare sulle costanti individuali e \( \displaystyle 2 \) è una costante individuale.

Tornando in tema: la tua funzione è definita dall'assegnazione \( \displaystyle n \mapsto \frac{5}{n+2} \) ; mostrare che questa funzione non è suriettiva significa trovare un numero razionale tale che nessun naturale "usato nell'espressione" \( \displaystyle \frac{5}{n+2} \) possa restituirti il numero razionale scelto. Ovviamente preso il razionale \( \displaystyle 2 \) , allora nessun naturale è tale per cui la frazione \( \displaystyle \frac{5}{n+2} \) possa restituirti \( \displaystyle 2 \) , quindi come controesempio va bene. Ma si potrebbe anche notare che se \( \displaystyle gcd(5,n+2)=1 \) allora il numeratore di questa frazione è sempre \( \displaystyle 5 \) e se \( \displaystyle gcd(5,n+2)\neq 1 \) allora il numeratore di questa frazione può, al più, essere \( \displaystyle 1 \) , essendo \( \displaystyle 5 \) un numero primo: quindi, in generale, una qualunque frazione con numeratore \( \displaystyle \neq 1 \land \neq 5 \) sicuramente non può essere ottenuta per mezzo di alcun numero naturale a partire dalla frazione che definisce l'assegnazione.

[Neptune]

@Neptune
Posso darti un consiglio? Evita di cercare di formalizzare troppo il tuo discorso con le formule logiche. Cerca di usare i simboli mutuati dalla logica come delle stenografie per sostituire le frasi di uso corrente, ovviamente attribuendo a queste frasi il senso che ne deriva dalle regole della logica. Perché? Perché fino a quando scrivi \( \displaystyle \exists 2 \in \mathbb{Q} \) sul forum non succede niente, ma se lo scrivi ad un esame ti bocciano seduta stante: i quantificatori non li puoi usare sulle costanti individuali e \( \displaystyle 2 \) è una costante individuale.

Tornando in tema: la tua funzione è definita dall'assegnazione \( \displaystyle n \mapsto \frac{5}{n+2} \) ; mostrare che questa funzione non è suriettiva significa trovare un numero razionale tale che nessun naturale "usato nell'espressione" \( \displaystyle \frac{5}{n+2} \) possa restituirti il numero razionale scelto. Ovviamente preso il razionale \( \displaystyle 2 \) , allora nessun naturale è tale per cui la frazione \( \displaystyle \frac{5}{n+2} \) possa restituirti \( \displaystyle 2 \) , quindi come controesempio va bene. Ma si potrebbe anche notare che se \( \displaystyle gcd(5,n+2)=1 \) allora il numeratore di questa frazione è sempre \( \displaystyle 5 \) e se \( \displaystyle gcd(5,n+2)\neq 1 \) allora il numeratore di questa frazione può, al più, essere \( \displaystyle 1 \) , essendo \( \displaystyle 5 \) un numero primo: quindi, in generale, una qualunque frazione con numeratore \( \displaystyle \neq 1 \land \neq 5 \) sicuramente non può essere ottenuta per mezzo di alcun numero naturale a partire dalla frazione che definisce l'assegnazione.

Effettivamente ho fatto un bel errore "di sintassi". E' che sto nella testa nel pallone.

Mi sono bloccato su quest'altro esercizio simile dove, data la funzione:

\( \displaystyle {f{:}}\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q} \)

Così definita:

\( \displaystyle \forall{x}\in\mathbb{Q} \) \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={{x}}^{{2}}+{5}{x}-{10} \)

e devo dimostrare che non è nè ingettiva nè surgettiva.

Ho iniziato dalla surgettività e gia mi sono bloccato, ovvero la surgettività dice sempre che

\( \displaystyle \forall{y}\in\mathbb{Q}\exists{x}\in\mathbb{Q} \) t.c \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={{x}}^{{2}}+{5}{x}-{10} \)

Quindi so che \( \displaystyle {y}={{x}}^{{2}}+{5}{x}-{10} \) e per dimostrare che non è surgettiva devo trovare una \( \displaystyle {y} \) che non è rappresentabile da quella formula ma non mi viene in mente "un procedimento logico per stabilirlo".
L'unica cosa che mi viene in mente e di provare a metterci qualche numero, e procedere per prove, ma la cosa sarebbe dispendiosa e magari alla fine non sarei nemmeno sicuro dell'esattezza.

Tu come mi consigli di agire?

[WiZaRd]

In un sistema cartesiano \( \displaystyle Oxy \) il grafico della funzione \( \displaystyle \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto x^{2}+5x-10 \) qual è? Il grafico della funzione \( \displaystyle \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} \) dotata della medesima assegnazione si può pensare ottenuto dal grafico precednete togliendo cosa?

Dirai tu: e questo a che serve? Serve a farti rendere conto che esiste un minimo per \( \displaystyle y=x^{2}+5x-10 \) , sicché per un qualsivoglia razionale \( \displaystyle < \) di questo minimo, sicuramente non esiste antimmagine.

Allo stesso tempo il grafico di cui sopra dovrebbe suggerirti perché non c'è iniettività.

Alternativamente potresti procedere così: prendi \( \displaystyle y=x^{2}+5x-10 \) e la consideri come una equazione parametrica con incognita \( \displaystyle x \) , quindi rispetto a questa risolvi l'equazione e ti ritrovi la \( \displaystyle y \) sotto radice, sicché con ovvie considerazioni sulla non negatività del radicando potresti trovare qualche valore di \( \displaystyle y \) che ti faccia da controesempio oppure, addirittura, dire escplicitamente per quali valori di \( \displaystyle y \) non si può determinare una controimagine. Sempre su questa strada dovresti riuscire anche a spiegare l'assenza di iniettività.

[mistake89]

potresti anche calcolare il semplice \( \displaystyle \Delta \) di quest'equazione \( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{5}{x}-{10}-{y}={0} \) e discutere al variare di \( \displaystyle {y} \) la risolubilità o meno...